Tanc-Funktion

Die tanc-Funktion im Bereich von −11 bis 11

Die tanc-Funktion oder auch Kardinaltangens (Tangens cardinalis) ist eine mathematische Funktion, die durch

$\mathrm{tanc}(x):=\frac{\tan (x)}{x}$

definiert ist. Hierbei bezeichnet $\tan (x)$ den gewöhnlichen Tangens.

Analog zur gebräuchlicheren sinc-Funktion wird die Funktion an der hebbaren Definitionslücke bei $x=0$ durch ihren Grenzwert $\mathrm{tanc}(0)=1$ fortgesetzt. Trotz ihrer strukturellen Ähnlichkeit zählt sie nicht zu den Kardinalfunktionen.

Eigenschaften

Allgemeines

An der hebbaren Singularität bei $x=0$ werden die Funktionen durch den Grenzwert $\mathrm{tanc}(0)=1$ bzw. $\mathrm{tanc}(0)=1$ stetig fortgesetzt, der sich aus der Regel von de L’Hospital ergibt; manchmal wird die Definitionsgleichung auch mit Fallunterscheidung geschrieben:

$\mathrm{tanc}(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{\tan x}{x}& x\ne 0\vee x\ne \pi n\\ 1& x=0\end{array}$.

Nullstellen

Die tanc-Funktion hat ihre Nullstellen bei ganzzahligen Vielfachen von $\pi$:

$\mathrm{tanc}(x)=\frac{\tan (x)}{x}=0$ gilt für $x\in \{n\pi \mid n\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}\}$

Asymptotisches Grenzverhalten

Für $x$-Koordinaten der Form $x_n=\frac{1}{2}+\pi n$ mit ganzzahligem $n$ hat die $\mathrm{tanc}(x_n)$-Funktion ein asymptotisches Grenzverhalten, da $\tan (x_n)$ divergiert.

Ableitungen

Die erste Ableitung von $\mathrm{tanc}(x)$ ist gegeben durch:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{tanc}(x)=\frac{{\sec }^2(x)}{x}-\frac{\tan (x)}{x^2}$

Integrale

Das Integral vom Kehrwert der tanc-Funktion hat bis zur ersten Nullstelle folgenden Wert:

$\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{1}{\mathrm{tanc}(x)}=\frac{\pi }{2}\ln (2)$

Dies wird im Folgenden bewiesen:

$\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{1}{\mathrm{tanc}(x)}\mathrm{d}x=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\arcsin (x)}{x}\mathrm{d}x=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\sqrt{1-x^2}}{-x^2{y}^2+1}\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\mathrm{d}y\mathrm{d}x=$$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\sqrt{1-x^2}}{-x^2{y}^2+1}\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\pi }{2}\frac{y}{\sqrt{1-y^2}(1+\sqrt{1-y^2})}\mathrm{d}y=\frac{\pi }{2}\ln (2)$

Abgrenzung

Die $\mathrm{tanc}(x)$ hat strukturell große Ähnlichkeit zu der $\mathrm{sinc}(x)$-Funktion, ist allerdings keine Kardinalfunktion, hat aber Definitionslücken bei $(n+\frac{1}{2})\pi$. Daher ist bspw. in der Physik die Verwendung von $\mathrm{sinc}(x)$ gebräuchlicher.

Weblinks

• Information zur Tanc-Funktion bei Wolfram Research