Bass-Guivarc‘h-Formel

In der Mathematik berechnet die Bass-Guivarc‘h-Formel die Wachstumsrate nilpotenter Gruppen.

Eine endlich erzeugte Gruppe $G$ ist nilpotent, wenn es eine Reihe von Untergruppen

$G=G_1\supset G_2\supset \dots \supset G_n=\{0\}$

gibt, so dass

$G_k/G_{k+1}\subset Z(G/G_{k+1})$

für alle $k$, wobei $Z$ das Zentrum bezeichnet. Insbesondere ist $G_k/G_{k+1}$ eine endlich erzeugte abelsche Gruppe für jedes $k$.

Joseph A. Wolf bewies 1968, dass endlich erzeugte nilpotente Gruppen polynomielles Wachstum haben, d. h. für ein (beliebiges) Erzeugendensystem ist die Anzahl der durch Produkte von $n$ Erzeugern darstellbaren Elemente durch ein Polynom in $n$ beschränkt.

Der optimale Grad dieses Polynoms wurde mit unterschiedlichen Beweisen von Hyman Bass und Yves Guivarc‘h gefunden. Er ist

$d(G)=\sum _{k\ge 1}k\cdot \mathrm{rank}(G_k/G_{k+1})$.

Literatur

• J. A. Wolf: Growth of finitely generated solvable groups and curvature of Riemannian manifolds. J. Differ. Geom. 2, 421–446 (1968).
• H. Bass: The degree of polynomial growth of finitely generated nilpotent groups. Proc. Lond. Math. Soc., III. Ser. 25, 603–614 (1972).
• Y. Guivarc‘h: Croissance polynômiale et périodes des fonctions harmoniques. Bull. Soc. Math. Fr. 101, 333–379 (1973).