Permutationskategorie

Die Permutationskategorie ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie eine über den natürlichen Zahlen definierte Kategorie mit den symmetrischen Gruppen als Automorphismusgruppen.

Definition

Die Permutationskategorie $𝐒𝐲𝐦$ ist die diskrete Kategorie gegeben durch:

$\mathrm{Ob}𝐒𝐲𝐦=\mathbb{N};$

${\mathrm{Aut}}_{𝐒𝐲𝐦}(n)={\mathrm{Sym}}_n.$

Diskret bedeutet dabei, dass es keinen einzigen Morphismus zwischen verschiedenen Objekten gibt, also anders ausgedrückt alle Zusammenhangskomponenten nur ein Objekt enthalten. Alternativ kann die Permutationskategorie daher definiert werden als:

$𝐒𝐲𝐦:=\coprod _{n\in \mathbb{N}}𝐁{\mathrm{Sym}}_n$

Dabei ist $𝐁{\mathrm{Sym}}_n$ die Kategorie mit einem Element gegeben durch:

$\mathrm{Ob}𝐁{\mathrm{Sym}}_n=\{*\};$

${\mathrm{Aut}}_{𝐁{\mathrm{Sym}}_n}(*)\cong {\mathrm{Sym}}_n.$

Wieder eine alternative Definition ist als Kernkategorie der Kategorie der endlichen Mengen:

$𝐒𝐲𝐦:=\mathrm{core}{𝐒𝐞𝐭}_{\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}}.$

Anwendung

Für eine Kategorie $𝒞$ ist ein (kovarianter) Funktor $𝐒𝐲𝐦\to 𝒞$ ein S-Objekt.

Literatur

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