Pseudokreis

Die Pseudokreis ist im mathematischen Teilgebiet der Algebraischen Topologie ein lediglich aus vier Punkten bestehender topologischer Raum, welcher schwach homotopieäquivalent zum Kreis ist.

Definition

Seien $l$ (eng. left für links), $r$ (eng. right für rechts), $t$ (eng. top für oben) und $b$ (eng. bottom für unten) vier Punkte. Nun ist der Pseudokreis die Menge $𝕊=\{l,r,t,b\}$ mit der Topologie:

$\{\{l,r,t,b\},\{l,r,t\},\{l,r,b\},\{l,r\},\{l\},\{r\},\mathrm{\varnothing }\}.$

Durch die Abbildung $S^1\to 𝕊$, welche dem Nordpol von $S^1$ den Punkt $t\in 𝕊$, dem Südpol von $S^1$ den Punkt $b\in 𝕊$, dem linken offenen Halbkreis den Punkt $l\in 𝕊$ und dem rechten offenen Halbkreis den Punkt $r\in 𝕊$ zuordnet, ist der Pseudokreis schwach homotopieäquivalent zum Kreis. Dadurch ist insbesondere ${\pi }_1(𝕊)\cong \mathbb{Z}$, wobei die gerade beschriebene Abbildung ein Generator ist. Umgekehrt ist jedoch jede stetige Abbildung $𝕊\to S^1$ konstant.

Verallgemeinerungen

Allgemeiner dient der Pseudokreis nur als einfachstes Beispiel des sehr viel stärkeren Resultates, dass jeder Homotopie-, Homologie- und Kohomologietyp eines Simplizialkompkexes sogar durch einen endlichen topologischen Raum dargestellt werden kann. Für jeden Simplizialkompkex $K$ gibt es einen endlichen topologischen Raum $X$ und für jeden endlichen topologischen Raum $X$ gibt es einen Simplizialkompkex $K$, sodass eine schwache Homotopieäquivalenz:

$|K|\to X$

existiert. Dabei ist $|K|$ die geometrische Realisierung von $K$.

Literatur

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Weblinks

• pseudocircle auf nLab (englisch)