Ingenieurperspektive

Koordinatenachsen und Winkel bei der Ingenieurperspektive.

Würfel in Ingenieurperspektive.

Die Ingenieurperspektive (auch Ingenieur-Axonometrie, Ingenieurprojektion, Ingenieurriss, Dimetrie, dimetrische Projektion, technische Zeichnung in Axonometrie, englisch: dimetric axonometry, dimetric projection) ist eine spezielle Parallelperspektive (Axonometrie). Die Verzerrungen der Linien parallel zu den Achsen sind mit v_x = 0,5 und v_y = v_z = 1 (Dimetrie) festgelegt und die Winkel zwischen den drei Raumachsen betragen α = γ = 132° und β = 97° (bzw. 7° und 42° zur Waagerechten). Die Ingenieurperspektive ist durch die Norm ISO 5456-3:1996(E) festgelegt.

Beschreibung

Satteldachhaus in Ingenieurperspektive.

Geodreieck mit Markierungen für Ingenieurperspektive.

Möbel in Ingenieurperspektive.

Grundlage der Ingenieurperspektive ist, dass sich die Verkürzungsverhältnisse der Strecken parallel zu den Achsen x, y, und z wie ½ : 1 : 1 verhalten. Sucht man die entsprechenden Achsenwinkel, stellt sich heraus, dass bei senkrechter z-Achse die x-Achse um 42° und die y-Achse um 7° von der Horizontalen abweicht.

Vor- und Nachteile

Vorteile sind:

• Durch die einfachen Verzerrungsverhältnisse ist die Konstruktion relativ leicht zu erstellen.
• Die notwendigen Winkel von 7° und 42° sind auf vielen Geodreiecken markiert.
• Der Umriss einer Kugel ist in guter Näherung ein Kreis (bei der Kavalier- und Militärperspektive ist er eine Ellipse).
• Das Bild ist fast eine senkrechte Parallelprojektion mit dem Skalierungsfaktor 1,06. Deshalb ist die Bildwirkung anschaulich und Maßverhältnisse sind leicht ablesbar.

Nachteile sind:

• Die Formen des Grundrisses und der Seitenrisse sind verzerrt dargestellt.
• Die Darstellung wirkt weniger realistisch, da kein Fluchtpunkt (wie bei der Fluchtpunktperspektive) vorhanden ist.

Mathematischer Hintergrund

Eine Ingenieur-Axonometrie entspricht einer senkrechten Parallelprojektion auf eine Ebene mit dem Normalenvektor (= negativer Projektionsrichtung) $(\sqrt{7},1,1{)}^{\mathrm{\top }}$ mit anschließender Skalierung um den Faktor $\frac{3}{2\sqrt{2}}\approx 1,061$. Der Grundriss des Normalenvektors schließt mit der x-Achse einen Winkel von $\arccos \left(\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}\right)\approx 20,70^{\circ }$ ein. Der Winkel gegenüber der x-y-Ebene beträgt $\arccos \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)\approx 19,47^{\circ }$. Die exakten Winkel zwischen den Bildern der Koordinatenachsen sind:

• $\begin{array}{ccc}\alpha & =\arccos (-\frac{\sqrt{7}}{4})& \approx 131,4^{\circ }\approx 2,294\\ \beta & =\arccos (-\frac{1}{8})& \approx 97,18^{\circ }\approx 1,696\end{array}$

Für die (dimetrische) senkrechte Parallelprojektion mit $v_y=v_z=2v_x$ (ohne Skalierung!) gilt:

• $\begin{array}{ccc}{v}_x& =\frac{\sqrt{2}}{3}& \approx 0,471\\ v_y=v_z& =\frac{2\sqrt{2}}{3}& \approx 0,942\end{array}$.