Dritter Lemoinescher Kreis

Schnittpunkte $P_a$,$P_b$,$P_c$, $Q_a$,$Q_a$ und $Q_c$ liegen auf dem dritten Lemoine-Kreis mit Mittelpunkt $M$ (rot). $K$ ist der Lemoine-Punkt und $O$ der Mittelpunkt des Umkreises von $\mathrm{△}ABC$.

Der dritte Lemoinesche Kreis eines Dreiecks ist einer der besonderen Kreise der Dreiecksgeometrie. Wie der erste und zweite Lemoinesche Kreis ist er ein Spezialfall eines Tucker-Kreises. Er ist nach dem französischen Mathematiker Émile Lemoine (1840–1912) benannt, wurde aber erst 2002 von Jean-Pierre Ehrmann entdeckt.

Definition

Betrachtet man bei einem Dreieck $\mathrm{△}ABC$ mit Lemoinepunkt $K$ die Umkreise der Teildreiecke $\mathrm{△}ABK$, $\mathrm{△}BCK$ und $\mathrm{△}ACK$, dann schneiden sie die verlängerten Dreiecksseiten von $\mathrm{△}ABC$ in je zwei weiteren Punkten. Das heißt, der Umkreis von $\mathrm{△}ABK$ schneidet $AC$ in $Q_b$ und $BC$ in $P_a$, der Umkreis von $\mathrm{△}BCK$ schneidet $AB$ in $Q_c$ und $AC$ in $P_b$ und der der Umkreis von $\mathrm{△}ACK$ schneidet $AB$ in $P_c$ und $BC$ in $Q_a$. Diese sechs Schnittpunkte $P_a,P_b,P_c,Q_a,Q_a,Q_c$ haben die Eigenschaft auf einem gemeinsamen Kreis zu liegen, dieser Kreis wird als dritter Lemoine-Kreis bezeichnet.

Eigenschaften

Der Mittelpunkt $M$ des dritten Lemoine-Kreises liegt auf der Verbindungsgeraden zwischen dem Lemoine-Punkt $K$ und dem Umkreismittelpunkt $O$ des Dreiecks $\mathrm{△}ABC$, zudem ist der Abstand zwischen Umkreismittelpunkt $O$ und Lemoinepunkt $K$ doppelt so groß wie der Abstand zwischen Mittelpunkt $M$ und Lemoinepunkt$K$.

$|OK|=2\cdot |MK|$

Verwendet man orientierte Abstände oder Vektoren, so gilt:

$\overrightarrow{KM}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{KO}$

Der dritte Lemoine-Kreis ist ein Tucker-Kreis.

Literatur

• Darij Grinberg: Ehrmann's Third Lemoine Circle. In: Journal of Classical Geometry 1, 2012, S. 40–52.
• Sandor Nagydobai Kiss, Paul Yiu: On the Tucker Circles. In: Forum Geometricorum, Band 17 (2017), S. 157–175 (Digitalisat)