Intermediäre Ricci-Krümmung

In der Differentialgeometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, gibt es den Begriff intermediäre Ricci-Krümmung in zwei unterschiedlichen Bedeutungen. Im einen Fall wird zwischen Schnittkrümmung und Ricci-Krümmung interpoliert, im anderen zwischen Ricci-Krümmung und Skalarkrümmung.

Definitionen

Sei $M$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Für zwei Vektoren $v,w\in T_{p}M$ im Tangentialraum eines Punktes $p\in M$ bezeichnen wir jeweils mit $K(v,w)$ die Schnittkrümmung der von $v$ und $w$ aufgespannten Ebene in $T_{p}M$.

Interpolation zwischen Schnittkrümmung und Ricci-Krümmung

Sei $1\le k\le \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}(M)-1$. Dann ist die $k$-te intermediäre Ricci-Krümmung für $k+1$ orthonormale Vektoren $x,y_1,\dots ,y_k$ in einem Tangentialraum $T_{p}M$ definiert als

${\mathrm{R}\mathrm{i}\mathrm{c}}_k(x,y_1,\dots ,y_k):=K(x,y_1)+\dots +K(x,y_k).$

Für $k=1$ erhält man die Schnittkrümmung $K(x,y_1)$ und für $k=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}(M)-1$ die Ricci-Krümmung $\mathrm{R}\mathrm{i}\mathrm{c}(x,x)$.

Interpolation zwischen Ricci-Krümmung und Skalarkrümmung

Sei $1\le k\le \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}(M)$. Dann ist die $k$-te intermediäre Ricci-Krümmung für $k$ orthonormale Vektoren $x_1,\dots ,x_k$ in einem Tangentialraum $T_{p}M$ definiert als

${\mathrm{R}\mathrm{i}\mathrm{c}}_k(x_1,\dots ,x_k):=\mathrm{R}\mathrm{i}\mathrm{c}(x_1,x_1)+\dots +\mathrm{R}\mathrm{i}\mathrm{c}(x_k,x_k).$

Für $k=1$ erhält man die Ricci-Krümmung $\mathrm{R}\mathrm{i}\mathrm{c}(x_1,x_1)$ und für $k=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}(M)$ die Skalarkrümmung in $p$.

Literatur

• H. Wu, Manifolds of partially positive curvature. Indiana Univ. Math. J. 36, 525–548 (1987).
• S. Brendle, S. Hirsch, F. Johne, A generalization of Geroch´s conjecture. arXiv:2207.08617

Weblinks

• L. Mouillé: Intermediate Ricci Curvature