Separierter Morphismus

In der algebraischen Geometrie, insbesondere der Theorie der Schemata, ist ein separierter Morphismus ein Morphismus $f:X\to Y$ von Schemata, sodass der Diagonalmorphismus ${\mathrm{\Delta }}_{X/Y}:X\to X{\times }_{Y}X$ eine abgeschlossene Immersion ist. Separierte Morphismen sind das Analogon von Hausdorffräumen in der Theorie der Schemata über einem gegebenen Basisschema.

Formale Definition

Ein Morphismus von Schemata $f:(X,{𝒪}_X)\to (Y,{𝒪}_Y)$ heißt separiert, falls der Diagonalmorphismus ${\mathrm{\Delta }}_{X/Y}:X\to X{\times }_{Y}X$ eine abgeschlossene Immersion ist. Hier ist der Diagonalmorphismus ${\mathrm{\Delta }}_{X/Y}$ der durch die universelle Eigenschaft des Faserproduktes $X{\times }_{Y}X$ induzierte Morphismus, wenn man diese auf das Paar ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_X,{\mathrm{i}\mathrm{d}}_X:X\to X$ anwendet.

Der Diagonalmorphismus ist immer eine Immersion. Es ist also äquivalent zu fordern, dass die Diagonale abgeschlossenes Bild hat.

Eigenschaften

• Die Komposition zweier separierter Morphismen von Schemata ist separiert.
• Ist $f:X\to Y$ ein separierter Morphismus von Schemata und $g:Z\to Y$ ein beliebiger Morphismus, so ist der Basiswechsel $X{\times }_{Y}Z\to Z$ separiert.
• Ist $f:X\to Y$ ein separierter Morphismus von Schemata und sind $U,V\subseteq X$ affine offene Unterschemata, sodass $f(U)\cup f(V)$ in einer affinen offenen Teilmenge von $Y$ liegt, so ist $U\cap V$ affin.
• Ist $f:X\to Y$ ein separierter Morphismus von Schemata, sodass $Y$ separiert über $\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})$ ist, und sind $U,V\subseteq X$ affine offene Unterschemata, so ist $U\cap V$ affin.
• Jeder affine Morphismus ist separiert.
• Jede Immersion ist separiert.

Beispiele

• Ist $B\to A$ ein beliebiger Ringhomomorphismus, so ist der induzierte Homomorphismus affiner Schemata $X:=\mathrm{Spec}(A)\to Y:=\mathrm{Spec}(B)$ separiert.
• Der projektive Raum über einem beliebigen Basisschema ist separiert. Insbesondere ist jedes abgeschlossene Unterschema eines projektiven Raums separiert.
• Verklebt man die affine Gerade ${𝔸}^1$ mit sich selbst an der offenen Teilmenge ${𝔸}^1\setminus \{0\}=\mathrm{Spec}(\mathbb{Z}[x,x^{-1}])$, so erhält man ein Schema, welches nicht separiert über $\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})$ ist.