Zeta-Verteilung

Zeta-Verteilung mit verschiedenen Parameterwerten von s

Die Zeta-Verteilung (auch Zipf-Verteilung nach George Kingsley Zipf) ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Stochastik. Sie ist univariat und eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die den natürlichen Zahlen $x=1,2,3,\dots$ die Wahrscheinlichkeiten

$P(X=x)=\frac{x^{-s}}{\zeta (s)}$

zuordnet, wobei $s>1$ ein Parameter und $\zeta (s)$ die riemannsche Zetafunktion ist.

Ihr $k$-tes Moment existiert, falls $s>k+1$, und liegt in diesem Fall bei

$E(X^k)=\frac{\zeta (s-k)}{\zeta (s)}$.

Die Anzahl unterschiedlicher Primfaktoren einer Zeta-verteilten Zufallsvariable sind wiederum unabhängige Zufallsvariablen. Dies ist bei keiner anderen Wahrscheinlichkeitsverteilung der Fall.

Zur Motivation dieser Verteilung siehe Zipfsches Gesetz.

Weblinks

• Vorlage:MathWorld
• Größe von US-Firmen gehorcht der mathematischen Zipf-Verteilung auf wissenschaft.de