Interpolationssatz von Riesz-Thorin

Der Interpolationssatz von Riesz-Thorin (oder Konvexitätssatz von Riesz-Thorin) ist ein Resultat aus der Operatortheorie, welches sagt, dass ein linearer Operator, welcher auf zwei L^p-Räumen (für unterschiedliche $p$) beschränkt ist, auch auf allen $L^p$-Räumen für dazwischen liegende $p$ beschränkt ist. Die Aussage gilt dabei für $p\in [1,\mathrm{\infty }]$. Das heißt also, zeigt man das ein Operator zum Beispiel auf $L^1$ und $L^{\mathrm{\infty }}$ beschränkt ist, so gilt die Aussage nach dem Interpolationssatz auch für $L^p$ mit $1\le p\le \mathrm{\infty }$.

Die ursprüngliche reelle Variante des Satzes wurde 1926 () von dem ungarischen Mathematiker Marcel Riesz bewiesen; sein schwedischer Student G. Olof Thorin erweiterte ihn 1936 () dann auf die heutige komplexe Form. Die reelle Variante benötigt eine zusätzliche Restriktion in Form von $p_k\le q_k$ für $k=0,1$. Geometrisch gesehen führt dies dazu, dass die dazwischen liegenden Räume, welche mit $L^p$ und $L^q$ notiert werden, als Punkte $(1/p,1/q)$ in einem unteren Dreieck liegen. Im komplexen hingegen sind die Punkte im Quadrat $[0,1]\times [0,1]$.

Der Satz ist neben dem Interpolationssatz von Marcinkiewicz eine der Grundlagen der Interpolationstheorie für Operatoren.

Interpolationssatz

Seien $(U,{\mathrm{\Sigma }}_1,\mu )$ und $(V,{\mathrm{\Sigma }}_2,\nu )$ zwei σ-endliche Maßräume. Mit $L^p(U,{\mathrm{\Sigma }}_1,\mu )$ bezeichnen wir die $L^p$-Räume für komplex-wertige Funktionen und mit $\Vert T{\Vert }_{L^a,L^b}$ die Operatornorm

$\Vert T{\Vert }_{L^a,L^b}=\sup {\mathrm{\backslash limits}}_{f\ne 0}\frac{\Vert Tf{\Vert }_{L^b}}{\Vert f{\Vert }_{L^a}}.$

Wir formulieren nur den komplexen Fall vollständig, da der reelle Fall nur eine kleine Modifikation benötigt.

Komplexer Fall

Seien $p_0,p_1,q_0,q_1\in [1,\mathrm{\infty }]$ mit $p_0\ne p_1$ und $q_0\ne q_1$, sowie $\theta \in (0,1)$.

Sei $T$ ein beschränkter linearer Operator, so dass

$T:L^{p_0}(U,{\mathrm{\Sigma }}_1,\mu )+L^{p_1}(U,{\mathrm{\Sigma }}_1,\mu )\to L^{q_0}(V,{\mathrm{\Sigma }}_2,\nu )+L^{q_1}(V,{\mathrm{\Sigma }}_2,\nu )$

mit

$\Vert T{\Vert }_{L^{p_0},L^{q_0}}=M_0$ und $\Vert T{\Vert }_{L^{p_1},L^{q_1}}=M_1.$

Dann ist die Einschränkung

$T:L^p(U,{\mathrm{\Sigma }}_1,\mu )\to L^q(V,{\mathrm{\Sigma }}_2,\nu )$

beschränkt mit Norm

$\Vert T{\Vert }_{L^p,L^q}\le M_0^{1-\theta }{M}_1^{\theta }$

wobei $p$ und $q$ durch

$\frac{1}{p}=\frac{1-\theta }{p_0}+\frac{\theta }{p_1}$ und $\frac{1}{q}=\frac{1-\theta }{q_0}+\frac{\theta }{q_1}$

gegeben sind.

Reeller Fall

Damit die Aussage im reellen Fall auch gilt, muss zusätzlich $p_0\le q_0$ und $p_1\le q_1$ gelten. Außerdem ändert sich die Abschätzung der Norm auf

$\Vert T{\Vert }_{L^p,L^q}\le 2M_0^{1-\theta }{M}_1^{\theta }.$

Anwendungsbeispiele

• Der Satz kann verwendet werden, um die Faltungsungleichung von Young zu beweisen.

Literatur

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