Satz von Datko-Pazy

Der Satz von Datko-Pazy ist ein Resultat aus der Funktionalanalysis über die Stabilität von $C_0$-Halbgruppen auf Banach-Räumen. Das Theorem findet Anwendung in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Der Satz ist nach Richard Frank Datko und Amnon Pazy benannt. Datko bewies den Satz zuerst für den Fall $p=2$ und Pazy verallgemeinert ihn dann auf $p\in [1,\mathrm{\infty })$.

Es existieren Verallgemeinerungen, zum Beispiel von Zabczyk (), Rolewicz () sowie eine stochastische Variante ().

Satz von Datko-Pazy

Sei $(T(t){)}_{t\ge 0}$ eine $C_0$-Halbgruppe auf einem Banach-Raum $(E,\Vert \cdot \Vert )$.

Gleichmäßige exponentielle Stabilität

$(T(t){)}_{t\ge 0}$ ist gleichmäßig exponentiell stabil, wenn zwei Konstanten $M>1$ und $s>0$ existieren, so dass

$\Vert T(t)\Vert \le M{e}^{-st}$

für alle $t\ge 0$.

Aussage

Falls für ein $p\in [1,\mathrm{\infty })$ gilt

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\Vert T(t)x{\Vert }^p\mathrm{d}t<\mathrm{\infty },\text{ für alle }x\in E,$

d. h. $T(t)x\in L^p(ℝ,E)$ für alle $x\in E$, dann ist $(T(t){)}_{t\ge 0}$ gleichmäßig exponentiell stabil.

Literatur

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