Bairesche σ-Algebra

Die bairesche σ-Algebra ist in der Maßtheorie die kleinste σ-Algebra eines topologischen Raumes, so dass die reellwertigen stetigen Funktionen messbar sind. Sie wird durch die Baire-Mengen erzeugt, diese sind Borel-Mengen, die keine pathologischen Eigenschaften besitzen. Die bairesche σ-Algebra ist somit eine Unter-σ-Algebra der borelschen σ-Algebra

${ℬ}_0(X)\subseteq ℬ(X).$

Die bairesche σ-Algebra ist nach René Louis Baire benannt. In der Literatur existieren unterschiedliche Definition der Baire-Mengen, die zum Teil nicht äquivalent sind. Folglich gibt es auch unterschiedliche Definitionen der baireschen σ-Algebra und des Baire-Maßes. Wir folgen Wladimir Igorewitsch Bogatschow.

Bairesche σ-Algebra

Sei $X$ ein topologischer Raum und $C(X,ℝ)$ der Raum der reellwertigen, stetigen Funktionen über $X$. Die bairesche σ-Algebra ${ℬ}_0(X)$ wird durch die Mengen

$\{x\in X:f(x)>0\}$

erzeugt, wobei $f\in C(X,ℝ)$.

Eigenschaften

• Die gleiche σ-Algebra wird durch die beschränkten, stetigen Funktionen erzeugt.
• Die σ-Algebra wird durch die Mengen $f^{-1}(\{0\})$ mit $f\in C(X,ℝ)$ erzeugt.

Vergleich zu anderen σ-Algebren

• In einem metrischen Raum $(X,d)$ gilt $ℬ(X)={ℬ}_0(X)$.
• Sei $T$ eine überabzählbare Menge und $X={ℝ}^T$ (beachte, $X$ ist nicht metrisierbar). Dann ist ${ℬ}_0(X)<ℬ(X)$, aber ${ℬ}_0(X)=ℰ(X,X^{\prime })$ wobei $ℰ(X,X^{\prime })$ die zylindrische σ-Algebra bezeichnet.

Baire-Menge

Eine Menge in ${ℬ}_0(X)$ heißt Baire-Menge. Ein Maß $\mu :{ℬ}_0(X)\to {ℝ}_{+}$ heißt Baire-Maß.

Eigenschaften

• Jede Baire-Menge ist durch eine abzählbare Familie von Funktionen bestimmt, das heißt sie haben die Form

$\{x:(f_1(x),f_2(x),\dots ,f_n(x),\dots )\in B\},f_i\in C(X,ℝ),B\in ℬ({ℝ}^{\mathrm{\infty }}),$

und alle Mengen dieser Form sind Baire-Mengen und $C(X,ℝ)$ kann durch $C_b(X,ℝ)$ ersetzt werden.

Literatur

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