Posterior predictive distribution

In der Bayesschen Statistik ist die Posterior predictive distribution eines statistischen Modells die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichte neuer, unbeobachteter Werte $\tilde{x}$, gegeben alle bisherigen Beobachtungen $𝐱$. Man erhält sie durch Parameter-Integration der bedingten Dichte $p(\tilde{x}|\theta )$ mit der Posterior-Dichte $p(\theta |𝐱)$.

Definition

Die Posterior predictive distribution ist definiert als

$p(\tilde{x}|𝐱)=\underset{\mathrm{\Theta }}{\int }p(\tilde{x}|\theta )p(\theta |𝐱)\mathrm{d}\theta ={𝔼}_{\theta |𝐱}[p(\tilde{x}|\theta )],$

wobei $\mathrm{\Theta }$ der Parameterraum und $p(\theta |𝐱)$ die Posterior-Dichte ist. Die Gleichheit lässt sich mit dem Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit direkt sehen.

Die Posterior predictive distribution spielt zum Beispiel im Rahmen der Gauß-Prozess-Regression eine wichtige Rolle.

Abgrenzung gegenüber der Prior predictive distribution

Die Prior predictive distribution lässt die beobachteten Daten außer Acht: $p(\tilde{x})=\underset{\mathrm{\Theta }}{\int }p(\tilde{x}|\theta )p(\theta )\mathrm{d}\theta$

Bootstrap predictive distribution

Die Posterior predictive distribution kann durch Anwendung der Bootstrap predictive distribution $p_B(\overline{x}\mid X)=\int p(\overline{x}\mid {\theta }_{MLE}(\tilde{X}))\hat{p}(\tilde{X})d\tilde{X}$ genähert werden, wobei $\tilde{X}$ per Bootstrapping-Verfahren aus der empirischen Verteilungsfunktion gezogene Stichproben sind.

Siehe auch

• Gibbs-Sampling