Ekelands Variationsprinzip

Ekelands Variationsprinzip ist ein Theorem aus der Variationsrechnung, welches die Existenz eines fast optimalen Punktes für beschränkte, unterhalbstetige Funktionen auf vollständigen, metrischen Räumen garantiert.

Das Variationsprinzip wurde 1972 von dem französischen Mathematiker Ivar Ekeland bewiesen.

Ekelands Variationsprinzip

Sei $(X,d)$ ein vollständiger, metrischer Raum und $F:X\to ℝ\cup \{+\mathrm{\infty }\}$ eine unterhalbstetige Funktion, so dass

• $F$ von unten beschränkt ist, d. h.

$\inf {\mathrm{\backslash limits}}_{x\in X}F(x)>-\mathrm{\infty }$,

wobei $\inf {\mathrm{\backslash limits}}_{x\in X}F(x)$ nicht erreicht werden muss.

• $F\equiv ̸+\mathrm{\infty }$.

Für ein $\epsilon >0$ sei $u\in X$ so, dass

$\inf {\mathrm{\backslash limits}}_{x\in X}F(x)\le F(u)\le \inf {\mathrm{\backslash limits}}_{x\in X}F(x)+\epsilon$

gilt.

Dann existiert für jedes $\lambda >0$ ein Punkt $v_{\lambda }\in X$, so dass

$F(v_{\lambda })\le F(u);d(v_{\lambda },u)\le \lambda ;F(v_{\lambda })-(\epsilon /\lambda )d(w,v_{\lambda })<F(w),\mathrm{\forall }w\ne v_{\lambda }.$

Korollar

Daraus folgt, dass für alle $\epsilon >0$, ein $v\in X$ existiert, so dass

$F(v)\le \inf {\mathrm{\backslash limits}}_{x\in X}F(x)+\epsilon$

und

$F(v)-\epsilon d(w,v)<F(w),\mathrm{\forall }w\in X.$