Holomorphes quadratisches Differential

In der Mathematik werden holomorphe quadratische Differentiale verwendet, um Deformationen komplexer Strukturen auf Riemannschen Flächen zu beschreiben.

Sei $\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }{ℍ}^2$ eine Riemannsche Fläche. Ein holomorphes quadratisches Differential $\varphi$ ist eine holomorphe Funktion $\tilde{\varphi }:{ℍ}^2\to ℂ$, so dass für alle $\gamma \in \mathrm{\Gamma }$

$\tilde{\varphi }(\gamma (z))({\gamma }^{\prime }(z){)}^2=\tilde{\varphi }(z)$

für alle $z\in {ℍ}^2$ gilt.

Diese Transformationsregel bedeutet, dass der Tensor $\tilde{\varphi }(z)d{z}^2$ invariant unter der Wirkung von $\mathrm{\Gamma }$ ist. Insbesondere ist $|\tilde{\varphi }(z)||d{z}^2|$ invariant und definiert ein Maß auf $X=\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }{ℍ}^2$. Wenn das Maß von $X$ endlich ist, heißt $\varphi$ integrabel. Der Banach-Raum integrabler holomorpher quadratischer Differentiale mit der $L^1$-Norm wird mit $\mathrm{\Omega }(\mathrm{\Gamma })$ bezeichnet. Wenn $\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }{ℍ}^2$ endliches hyperbolisches Volumen hat, dann ist ${\dim }_{ℂ}(\mathrm{\Omega }(\mathrm{\Gamma }))=3g-3+n$, wobei $g$ das Geschlecht und $n$ die Anzahl der Punktierungen ist. Wenn $\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }{ℍ}^2$ unendliches hyperbolisches Volumen hat, dann ist $\dim (\mathrm{\Omega }(\mathrm{\Gamma }))=\mathrm{\infty }$. Man kann $\mathrm{\Omega }(\mathrm{\Gamma })$ als Tangentialraum des Teichmüller-Raumes interpretieren.

Literatur

• J.-P. Otal: Thurston’s hyperbolization of Haken manifolds. Hsiung, C. C. (ed.) et al., Surveys in differential geometry. Vol. III. A supplement to the Journal of Differential Geometry. Lectures on geometry and topology in honor of the 80th birthday of Chuan-Chih Hsiung, Harvard University, Cambridge, MA, USA, May 3-5, 1996. Boston, MA: International Press. 77-194 (1998).