Rotationszahl (Kontaktgeometrie)

In der Kontaktgeometrie, einem Teilgebiet der Mathematik ist die Rotationszahl eine Invariante von Legendre-Knoten.

Definition

Sei $(M,\xi )$ eine Kontaktmannigfaltigkeit und $L\subset M$ ein Legendre-Knoten.

Die Einschränkung von $\xi$ auf eine Seifert-Fläche ist trivialisierbar, man erhält einen Isomorphismus $\xi {\mid }_L\simeq L\times {ℝ}^2$. Man kann die Ableitung des Legendre-Knotens $\gamma :S^1\to {ℝ}^3$ mittels der Trivialisierung als Abbildung ${\gamma }^{\prime }:S^1\to {ℝ}^2$ auffassen. Ihre Windungszahl ist die Rotationszahl des Legendre-Knotens.

Formeln für Rotationszahl und Thurston-Bennequin-Invariante eines Legendre-Knotens in Frontprojektion

Für die Frontprojektion kann man die Rotationszahl als $\frac{1}{2}(\mathrm{♯}D-\mathrm{♯}U)$ berechnen, wobei D die in Richtung der negativen z-Achse durchlaufenen Cusp-Singularitäten und U die in Richtung der positiven z-Achse verlaufenden Cusp-Singularitäten sind.

Für die Lagrange-Projektion kann man die Rotationszahl als Umlaufzahl berechnen.