Quadratur der Parabel

Quadratur der Parabel

Die Quadratur der Parabel wird beschrieben durch folgenden Satz:

Die Flächenmaßzahl eines Parabelsegments beträgt $\frac{4}{3}$ der Flächenmaßzahl des einbeschriebenen Dreiecks mit der gleichen Höhe.

Der erste Beweis dieser Aussage stammt von dem berühmten griechischen Mathematiker Archimedes und erschien in seinem überlieferten Werk Die Quadratur der Parabel, das eine Sammlung von Briefen an den griechischen Mathematiker Dositheos darstellt, in denen er die Lösung des Problems beschreibt.

Archimedes bewies seine Behauptung für Parabelsegmente, die nicht notwendig symmetrisch zur y-Achse sind. Für y-achsensymmetrische Parabelsegmente lässt sich die Aussage des Satzes kürzer auch mittels Integration beweisen.

Beide Beweisvarianten werden aus Gründen der Vergleichbarkeit im Folgenden für symmetrische Parabelsegmente durchgeführt, wie es unter anderem auch bei Deiser zu finden ist.

Folgende Vereinfachungen werden ohne Beschränkung der Allgemeinheit beiden Beweisvarianten zugrunde gelegt:

• Die Parabel mit der Gleichung $f(x)=k{x}^2$ mit $k>0$ und $x\in ℝ$ ist eine gestreckte Normalparabel, wodurch das Verhältnis zwischen der Maßzahl des Parabelsegments und der Maßzahl des einbeschriebenen Dreiecks für alle $k$ konstant ist. Aus diesem Grunde reicht es aus, die Normalparabel zu betrachten.
• Aus Symmetriegründen genügt der Nachweis für das halbe Parabelsegment, das sich hier auf eine nach oben geöffnete Normalparabel bezieht.

Beweis nach Archimedes

Planfigur

Die Beweisidee von Archimedes basiert auf einer Exhaustion mit Dreiecksflächen.

Die grün und blau gefärbten Flächen setzen sich aus Teildreiecken zusammen, in denen jeweils die kleinste Seite als Grundseite (Seiten $CH$, $BG$ und $DF$) gewählt wird und bei denen der Fußpunkt der Höhe jeweils auf der Verlängerung der Grundseite erscheint.

Mit den Bezeichnungen in der Planfigur lassen sich dann die Flächenmaßzahlen folgendermaßen berechnen:

$A_1=\frac{1}{2}a\cdot a^2=\frac{1}{2}{a}^3$

$A_2=2\cdot \frac{1}{2}\overline{CH}\cdot \frac{1}{2}a=\frac{1}{2}a\cdot \overline{CH}$

$A_3=A_{31}+A_{32}=2\cdot \frac{1}{2}\overline{BG}\cdot \frac{1}{4}a+2\cdot \frac{1}{2}\overline{DF}\cdot \frac{1}{4}a=\frac{1}{4}a\cdot (\overline{BG}+\overline{DF})$

Die Längen der jeweils kleinsten Grundseiten ergeben sich wie folgt:

$\overline{CH}=\frac{1}{2}f(a)-f\left(\frac{1}{2}a\right)=\frac{1}{4}{a}^2$

$\overline{BG}=\frac{1}{2}f\left(\frac{1}{2}a\right)-f\left(\frac{1}{4}a\right)=\frac{1}{16}{a}^2$

Die Grundseitenlänge $\overline{DF}$ erhält man durch Anwendung eines Strahlensatzes.

$\frac{\overline{CK}}{\overline{FK}}=\frac{\overline{CL}}{\overline{EL}}\iff \overline{FK}=\frac{\overline{CK}\cdot \overline{EL}}{\overline{CL}}=\frac{\frac{1}{4}a\cdot (f(a)-f(\frac{1}{2}a)}{\frac{1}{2}a}=\frac{\frac{1}{4}a\cdot (a^2-\frac{1}{4}{a}^2)}{\frac{1}{2}a}=\frac{3}{8}{a}^2$

$\overline{DF}=\overline{FK}-\overline{DK}=\frac{3}{8}{a}^2-(f\left(\frac{3}{4}a\right)-f\left(\frac{1}{2}a\right))=\frac{3}{8}{a}^2-(\frac{9}{16}{a}^2-\frac{1}{4}{a}^2)=\frac{1}{16}{a}^2$

Setzt man die Längen $\overline{CH}$, $\overline{BG}$ und $\overline{DF}$ in $A_1$, $A_2$ und $A_3$ ein, so folgt:

$A_1=\frac{1}{2}a\cdot a^2=\frac{1}{2}{a}^3=2\cdot \frac{1}{4}{a}^3$

$A_2=2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}{a}^2\cdot \frac{1}{2}a=\frac{1}{8}{a}^3=2\cdot \frac{1}{16}{a}^3$

$A_3=A_{31}+A_{32}=2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{16}{a}^2\cdot \frac{1}{4}a+2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{16}{a}^2\cdot \frac{1}{4}a=\frac{1}{32}{a}^3=2\cdot \frac{1}{64}{a}^3$

…

$A_n=2\cdot \frac{1}{4^n}\cdot a^3$$(n\in \mathbb{N})$

Die Maßzahl des Parabelsegments ist somit der Grenzwert einer geometrischen Reihe.

$2\cdot (A_1+A_2+A_3+...+A_n)=2a^3\cdot (\frac{1}{4^1}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+...+\frac{1}{4^n})=2a^3\cdot \sum _{k=1}^n\frac{1}{4^k}$

$2\cdot 2a^3\cdot \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{4^k}=4a^3\cdot \frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}{a}^3$

Da die Maßzahl des einbeschriebenen Dreiecks $\frac{1}{2}\cdot 2a\cdot f(a)=\frac{1}{2}\cdot 2a\cdot a^2=a^3$ beträgt, ist die Aussage von Archimedes über die Quadratur der Parabel bewiesen.

Beweis mittels Integration

Planfigur

Flächenmaßzahl des Parabelsegments:

$2\cdot (a\cdot a^2-\underset{0}{\overset{a}{\int }}{x}^2\mathrm{d}x)=\frac{4}{3}{a}^3$

Flächenmaßzahl des einbeschriebenen Dreiecks:

$\frac{1}{2}\cdot 2a\cdot a^2=a^3$

Damit ist die archimedische Aussage bestätigt.

Siehe auch

• Quadratur des Kreises
• Quadratur des Rechtecks
• Quadratur des Polygons

Literatur

• Hans-Heinrich Körle: Die phantastische Geschichte der Analysis, Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, München 2012, ISBN 978-3-486-70819-6, Seiten 111–115
• Wolfgang Göbels: Archimedische Formel für Parabelsegmente. Deutscher Verein zur Förderung des mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterrichts, Heft 7/2009 (62. Jg.), ISSN 0025-5866, Verlag Klaus Seeberger, Neuss, Seite 400
• Henning Körner: Parabelsegmente aus: TI Nachrichten 2/11
• J. Bemelmans: Über die Integration der Parabel, die Entdeckung der Kegelschnitte und die Parabel als literarische Figur, Manuskript zum Vortrag am Institut für Mathematik der RWTH Aachen am 17. Dezember 2010, Seite 1: Die Integration der Parabel durch Archimedes
• Archimedes, Quadrature of the Parabola (translated by Sir Thomas L. Heath), Vol. 11 of Great Books of the Western World, R. M. Hutchins, editor, Encyclopædia Britannica, Inc., 1952, pp. 527–537
• Archimedes' Quadrature of the Parabola A Mechanical View Article in The College Mathematics Journal, January 2006

Weblinks

• Melanie Walter: Quadratur der Parabel Veröffentlichung der ETH Zürich, abgerufen am 26. Oktober 2022
• Georg Wengler: Quadratur der Parabel - Archimedes GeoGebra-Applet, abgerufen am 26. Oktober 2022