Satz von Escher

Parkettierung der Ebene nach dem Satz von Escher (Ausschnitt)

Nach dem Satz von Escher, benannt nach dem Graphiker M. C. Escher, in dessen Aufzeichnungen sich Untersuchungen zu parkettierenden Sechsecken finden, lässt sich die Ebene mit nicht-regelmäßigen Sechsecken parkettieren.

Mathematische Aussage

Als Grundlage für die Formulierung dient Abbildung 1 (siehe nächster Abschnitt) als Planfigur.

• Gegeben seien ein gleichseitiges Dreieck $ABC$ und ein Punkt $P$ außerhalb von $ABC$.
• Q sei Eckpunkt des gleichschenkligen Dreiecks $QPB$, dessen Winkel an der Spitze die Weite 120° hat.
• R sei Eckpunkt des gleichschenkligen Dreiecks $PRA$, dessen Winkel an der Spitze ebenfalls die Weite 120° hat.

Unter diesen Voraussetzungen ist auch das Dreieck $RQC$ gleichschenklig mit dem Winkel der Weite 120° an der Spitze.

Bei der Beweisführung wird mit Hilfe des Satzes von Napoleon die Konstruktion rückwärts betrachtet.

Die Punkte $A$, $B$ und $C$ sind jeweils Mittelpunkte von – in der Planfigur nicht enthaltenen – gleichseitigen Dreiecken über den Seiten $PR$ bzw. $PQ$ bzw. $RQ$ des Dreiecks $PQR$. Demnach ist $ABC$ das gleichseitige Napoleon-Dreieck des Dreiecks $PQR$. Aus dessen Eigenschaften folgt, dass die Dreiecke $PRA$, $QPB$ und $RQC$ gleichschenklig mit dem Winkel der Weite 120° an der Spitze sind.

Im Folgenden wird das Vieleck $APBQCR$ mit Escher-Sechseck bezeichnet.

Mögliche Formen des Escher-Sechsecks

Je nach Lage des Punktes $P$ entstehen konvexe, konkave, entartete und überschlagene Escher-Sechsecke.

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  Abb. 1: Konvexes Sechseck
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  Abb. 2: Konkaves Sechseck
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  Abb. 3: Entartetes Sechseck
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  Abb. 4: Überschlagenes Sechseck

• Liegt $P$ innerhalb des Dreiecks $AEB$, so ist das Escher-Sechseck konvex.
• Liegt $P$ im Innern eines der Dreiecke $DEA$ oder $EFB$, so ist das Escher-Sechseck konkav.
• Liegt $P$ auf einer der sechs Seiten der Dreiecke $ADE$, $BEF$ und $AEB$, so ist das Escher-Sechseck entartet.
• Liegt $P$ außerhalb der Dreiecke $ADE$, $BEF$ und $AEB$, so ist das Escher-Sechseck ein überschlagenes Sechseck.

Siehe auch

• Ausgezeichnete Punkte im Dreieck
• Napoleon-Dreieck
• Napoleon-Punkt

Literatur

• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik – 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen. Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2015, ISBN 978-3-662-45460-2, S. 96–97.