Invariant Random Subgroup

Invariant Random Subgroup (IRS) ist ein Begriff aus der Mathematik. Diese Terminologie wurde von Abért, Glasner und Virág in einer 2014 erschienenen Arbeit eingeführt.

Definition

Sei $G$ eine topologische Gruppe, $Sub(G)$ der Raum der abgeschlossenen Untergruppen mit der Chabauty-Topologie. Eine invariant random subgroup ist ein Borelsches Wahrscheinlichkeitsmaß auf $Sub(G)$, dass unter der Konjugationswirkung von $G$ auf $Sub(G)$ invariant ist.

Der Raum aller solchen Maße mit der schwachen Topologie wird mit $IRS(G)$ bezeichnet.

Beispiele

• Wenn $N$ ein Normalteiler ist, ist das Dirac-Maß ${\delta }_N$ eine IRS.
• Wenn $\mathrm{\Gamma }\subset G$ ein Gitter ist, erhält man mittels der Abbildung $\mathrm{\Gamma }g\in \mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }G\to g^{-1}\mathrm{\Gamma }g\in Sub(G)$ durch Push-Forward des auf $\mathrm{\Gamma }\subset G$ auf Volumen $1$ normierten Haar-Maßes eine IRS auf $G$, die mit ${\mu }_{\mathrm{\Gamma }}$ bezeichnet wird.

Zusammenhang mit Benjamini-Schramm-Konvergenz

Sei $G$ eine zusammenhängende, halbeinfache Lie-Gruppe ohne kompakten Faktor und mit trivialem Zentrum, sei $K\subset G$ eine maximal kompakte Untergruppe und $X=G/K$ der symmetrische Raum. Dann sind für eine Folge von Gittern ${\mathrm{\Gamma }}_n\subset G$ äquivalent:

• Die Folge ${\mathrm{\Gamma }}_n\mathrm{\setminus }X$ BS-konvergiert gegen $X$.
• Die Folge ${\mu }_{{\mathrm{\Gamma }}_n}$ konvergiert in $IRS(G)$ gegen das Dirac-Maß auf der trivialen Untergruppe $\left\{1\right\}$.

IRS in Lie-Gruppen

Sei $G$ eine nicht-kompakte, einfache Lie-Gruppe mit trivialem Zentrum und $ran{k}_{ℝ}(G)\ge 2$. Dann folgt aus dem Satz von Nevo-Stuck-Zimmer, dass alle IRS entweder ${\mu }_{\mathrm{\Gamma }}$ für ein Gitter $\mathrm{\Gamma }$ oder ${\mu }_{id}$ oder ${\mu }_G$ sind.

Dagegen gibt es für nicht-kompakte, einfache Lie-Gruppen mit trivialem Zentrum und $ran{k}_{ℝ}(G)=1$ zahlreiche „exotische“ IRS.

Literatur

• Clara Löh: Ergodic Theoretic Methods in Group Homology. A Minicourse on L²-Betti Numbers in Group Theory (= SpringerBriefs in Mathematics.). Springer Nature, Cham 2020, ISBN 978-3-030-44219-4.
• Miklos Abert, Nicolas Bergeron, Ian Biringer, Tsachik Gelander, Nikolay Nikolov, Jean Raimbault, Iddo Samet: On the growth of L²-invariants for sequences of lattices in Lie groups. In: Annals of Mathematics. Serie 2, Band 185, Nummer 3, 2017, S. 711–790 Vorlage:JSTOR.