Chabauty-Topologie

In der Mathematik ist die Chabauty-Topologie eine Topologie auf dem Raum der abgeschlossenen Untergruppen einer topologischen Gruppe.

Definition

Für eine topologische Gruppe $G$ sei $Sub(G)$ die Menge ihrer abgeschlossenen Untergruppen. Die Chabauty-Topologie wird erzeugt von allen Mengen der Form

$O_1(K):=\{H\in Sub(G):H\cap K=\mathrm{\varnothing }\}$ für eine kompakte Menge $K\subset G$

und

$O_2(U):=\{H\in Sub(G):H\cap U=\mathrm{\varnothing }\}$ für eine offene Menge $U\subset G$.

Die offenen Mengen der Chabauty-Topologie sind also die Vereinigungen von endlichen Durchschnitten aus Mengen der Form $O_1(K)$ oder $O_2(U)$.

Konvergenz

Eine Folge abgeschlossener Untergruppen $H_n\in Sub(G)$ konvergiert genau dann gegen $H\in Sub(G)$, wenn

• für jedes $x\in H$ eine Folge von Elementen $x_n\in H_n$ mit $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=x$ existiert
• für jede Folge von Elementen $x_n\in H_n$ jeder Häufungspunkt in $H$ liegt.

Beispiel: in $G=ℝ$ konvergiert die Folge $H_n=\frac{1}{n}\mathbb{Z}$ gegen $H=ℝ$, während die Folge $H_n=n\mathbb{Z}$ gegen $H=\left\{0\right\}$ konvergiert.

Literatur

• Claude Chabauty: Limite d'ensembles et géométrie des nombres. Bulletin de la Société Mathématique de France, 78 143-151 (1950)

Weblinks

• Pierre de la Harpe: Spaces of closed subgroups of locally compact groups