Kontiguität (Wahrscheinlichkeitstheorie)

In der Wahrscheinlichkeitstheorie werden zwei Folgen von Wahrscheinlichkeitsmaßen als benachbart oder englisch contiguous bezeichnet, wenn sie asymptotisch denselben Träger haben. Somit erweitert der Begriff der Kontiguität (auch Benachbartheit oder englisch contiguity) den Begriff der absoluten Stetigkeit von Maßen.

Das Konzept wurde ursprünglich von Lucien Le Cam 1960 im Rahmen seiner Beiträge zur abstrakten asymptotischen Wahrscheinlichkeitstheorie eingeführt.

Motivation

Der Satz von Radon-Nikodým verallgemeinert die Ableitung einer Funktion auf Maße:

Für ein σ-endliches Maß $\mu$ auf dem Messraum $(X,𝒜)$ und ein σ-endliches signiertes Maß $\nu$, das absolut stetig bezüglich $\mu$ ist ($\nu \ll \mu$), existiert eine messbare Funktion $f:X\to ℝ$, so dass

$\nu (E)=\underset{E}{\int }f\mathrm{d}\mu$ für alle $E\in 𝒜$ gilt.

In der asymptotischen Wahrscheinlichkeitstheorie werden statt konstanten Maßen ($\mu$ und $\nu$) Folgen von Wahrscheinlichkeitsmaßen $((P_n{)}_{n\in I}$ und $(Q_n{)}_{n\in I})$ untersucht. Um den obigen Satz für zwei Folgen von Wahrscheinlichkeitsmaßen zu definieren, muss der Begriff der absoluten Stetigkeit mit dem Konzept der Kontiguität für diese Folgen verallgemeinert werden.

Man nennt ein Maß $Q$ bezüglich $P$ absolut stetig (in Symbolen $Q\ll P$), falls für jede messbare Menge $A$, $P(A)=0$ impliziert, dass $Q(A)=0$ gilt. Während absolute Stetigkeit fordert, dass der Träger eines Maßes $P$ im Träger eines weiteren Maßes $Q$ enthalten ist, ersetzt die Kontiguität diese Anforderung mit einer asymptotischen Version: Der Träger von $Q_n$ ist für große $n$ im Träger von $P_n$ enthalten.

Definition

Es sei $({\mathrm{\Omega }}_n,{ℱ}_n)$ eine Folge von Messräumen, jeweils mit zwei Wahrscheinlichkeitsmaßen $P_n$ und $Q_n$ ausgestattet.

• Die Folge $Q_n$ heißt benachbart zu $P_n$ (in Symbolen $Q_n⊲P_n$), falls für jede Folge $A_n$ von messbaren Mengen, $P_n(A_n)\to 0$ impliziert, dass $Q_n(A_n)\to 0$.
• Die Folgen $P_n$ und $Q_n$ heißen wechselseitig benachbart oder englisch bi-contiguous (in Symbolen $Q_n⊲⊳P_n$), falls $Q_n$ benachbart zu $P_n$ und $P_n$ benachbart zu $Q_n$.

Eigenschaften

• Im Fall $(P_n,Q_n)=(P,Q)$ für alle $n\in \mathbb{N}$ gilt: $Q_n◃P_n\iff Q\ll P$.
• Es ist möglich, dass $P_n\ll Q_n$ für alle $n\in \mathbb{N}$ gilt, ohne dass $P_n◃Q_n$ ist.

Le Cams erstes Lemma

Für zwei Folgen von Wahrscheinlichkeitsmaßen $(P_n)\text{ und }(Q_n)$ auf den Messräumen $({\mathrm{\Omega }}_n,{ℱ}_n)$ sind folgende Aussagen equivalent:

• $P_n◃Q_n$
• $\frac{\mathrm{d}{Q}_n}{\mathrm{d}{P}_n}\stackrel{P_n}{⟶}U\text{ auf einer Teilfolge }\Rightarrow P(U>0)=1$
• $\frac{\mathrm{d}{P}_n}{\mathrm{d}{Q}_n}\stackrel{Q_n}{⟶}V\text{ auf einer Teilfolge }\Rightarrow E(V)=1$
• $T_n\stackrel{P_n}{⟶}0\Rightarrow T_n\stackrel{Q_n}{⟶}0$ für alle Teststatistiken $T_n:{\mathrm{\Omega }}_n\to ℝ$

wobei $U$ und $V$ Zufallsvariablen auf den Wahrscheinlichkeitsräumen $(\mathrm{\Omega },ℱ,P)\text{ bzw. }({\mathrm{\Omega }}^{\prime },{ℱ}^{\prime },Q)$ sind.

Die Notation $\frac{\mathrm{d}{Q}_n}{\mathrm{d}{P}_n}\stackrel{P_n}{⟶}U$ bezeichnet die Konvergenz in Verteilung.

Le Cams drittes Lemma

Das dritte Lemma von Le Cam ist eine Version des Satzes von Radon-Nikodým, in dem die absolute Stetigkeit durch Kontiguität ersetzt wird. Es wird wie folgt formuliert:

Theorem

Sei $Q_n◃P_n$ mit den zwei Folgen von Wahrscheinlichkeitsmaßen $(P_n)\text{ und }(Q_n)$ auf den Messräumen $({\mathrm{\Omega }}_n,{ℱ}_n)$ und $X_n:{\mathrm{\Omega }}_n\to {ℝ}^k$ eine Folge von Zufallsvektoren und es gelte $(X_n,\frac{\mathrm{d}{Q}_n}{\mathrm{d}{P}_n})\stackrel{P_n}{\to }(X,V)$.
Dann definiert $L(B):=E(1_B(X)V)$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $({ℝ}^k,{ℬ}^k)$ mit $\int f\mathrm{d}L=E(f(X)V)$ für jede messbare Funktion $f:{ℝ}^k\to ℝ$ und es gilt $X_n\stackrel{Q_n}{\to }L$.

Für die Konvergenz gegen die mehrdimensionale Normalverteilung folgt daraus folgendes Korollar:

Korollar

Seien $(P_n)\text{ und }(Q_n)$ Folgen von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf den Messräumen $({\mathrm{\Omega }}_n,{ℱ}_n)$, und sei $X_n:{\mathrm{\Omega }}_n\to {ℝ}^k$ eine Folge von Zufallsvektoren und es gelte
$(X_n,\log \frac{d{Q}_n}{d{P}_n})\stackrel{P_n}{\to }{𝒩}_{k+1}(\left(\begin{array}{c}\mu \\ -\frac{1}{2}{\sigma }^2\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}\mathrm{\Sigma }& \tau \\ {\tau }^{\prime }& {\sigma }^2\end{array}\right)).$
Dann gilt: $X_n\stackrel{Q_n}{\to }{𝒩}_k(\mu +\tau ,\mathrm{\Sigma })$.

Anwendungen

• Ökonometrie

Literatur

• Vorlage:Literatur
• Jaroslav Hájek, Zbyněk Šidák (1967). Theory of rank tests. New York: Academic Press.
• Lucien Le Cam (1960). "Locally asymptotically normal families of distributions". University of California Publications in Statistics. 3: 37–98.
• George G. Roussas (2001) [1994], "Contiguity of probability measures", Encyclopaedia of Mathematics, EMS Press
• Aad van der Vaart (1998). Asymptotic statistics. Cambridge University Press.
• George G. Roussas (1972), Contiguity of Probability Measures: Some Applications in Statistics, CUP, ISBN 978-0-521-09095-7.
• D.J. Scott (1982) Contiguity of Probability Measures, Australian & New Zealand Journal of Statistics, 24 (1), 80–88.
• Erich Leo Lehmann, Joseph Paul Romano (2008), Testing Statistical Hypotheses. Springer New York.

Weblinks

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