Satz von Mazur-Ulam

In der Mathematik ist der Satz von Mazur-Ulam ein Lehrsatz aus der Geometrie normierter Vektorräume.

Er besagt, dass eine surjektive Isometrie $f:V\to W$ zwischen normierten Vektorräumen eine affine Abbildung sein muss.

Für (nicht notwendig surjektive) Isometrien des ${ℝ}^n$ und allgemeiner strikt konvexer Räume ist der Satz offensichtlich wahr: Für zwei Vektoren $v_0,v_1\in V$ ist $\Vert f(v_1)-f(v_0)\Vert =\Vert v_1-v_0\Vert =:r$ und für jedes $t\in [0,1]$ ist $v_t:=t{v}_1+(1-t)v_0$ der einzige Vektor mit $\Vert v_t-v_0\Vert =rt,\Vert v_1-v_t\Vert =r(1-t)$. Weil $f$ eine Isometrie ist, muss $f(v_t)$ der eindeutige Vektor mit $\Vert f(v_t)-f(v_0)\Vert =rt,\Vert f(v_1)-f(v_t)\Vert =r(1-t)$ sein, also $f(v_t)=tf(v_1)+(1-t)f(v_0)$. (Diese Eindeutigkeit gilt, wenn der normierte Vektorraum strikt konvex ist.) Damit ist $f$ affin. Dieser elementare Beweis funktioniert nicht mehr für Isometrien beliebiger normierter Vektorräume. In diesem allgemeinen Fall wurde der Satz 1932 von Stanisław Mazur und Stanislaw Ulam bewiesen.

Literatur

• S. Mazur, S. Ulam: Sur les transformations isométriques d'espaces vectoriels normés. C. R. Acad. Sci. Paris. 194: 946–948 (1932)