Homogene lineare Differentialgleichung

Homogene lineare Differentialgleichungen sind eine wichtige Klasse linearer Differentialgleichungen. Es handelt sich um Differentialgleichungen der Form

$x^{(n)}(t)=\sum _{k=0}^{n-1}{a}_k(t)x^{(k)}(t).$

Hierbei sind die $a_k$ vorgegebene Funktionen, etwa auf einem Intervall, und das hochgestellte ${}^{(k)}$ steht für die $k$-te Ableitung nach der Variablen $t$. Gesucht ist eine Funktion $x$, die obige Gleichung für alle $t$ auf einem vorgegebenen Definitionsbereich erfüllt.

Homogene lineare Differentialgleichungen erster Ordnung

Die homogene lineare Differentialgleichung

$x^{\prime }(t)=a(t)x(t)$

mit Anfangswert $x(t_0)=x_0$ hat die eindeutige Lösung

$x(t)=e^{\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}a(s)ds}{x}_0$ .

Für den Fall, dass a konstant ist:

$x(t)=e^{a(t-t_0)}{x}_0$ .

Homogene lineare Differentialgleichung höherer Ordnung

Konstante Koeffizienten

Zu einer Differentialgleichung

$a_n{x}^{(n)}(t)+a_{n-1}{x}^{(n-1)}(t)+\dots +a_1{x}^{\prime }(t)+a_{0}x(t)=0$

mit $a_n,\dots ,a_0\in ℝ$ betrachtet man ihr „charakteristisches Polynom“ $P(\lambda )=a_n{\lambda }^n+a_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\dots +a_1\lambda +a_0$. Dieses habe die Nullstellen ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_k$ mit zugehörigen Vielfachheiten ${\nu }_1,\dots ,{\nu }_k$. Dann sind alle Lösungen von der Form

$x(t)=\sum _{l=1}^k\sum _{m=0}^{{\nu }_l-1}{c}_{lm}{t}^m{e}^{{\lambda }_{l}t}$

mit Koeffizienten $c_{lm}\in ℂ$.

Allgemeiner Fall

Durch die Substitution $x_1(t)=x(t),x_2(t)=x^{\prime }(t),\dots ,x_n(t)=x^{(n-1)}(t)$ lässt sich die homogene lineare Differentialgleichung

$a_n(t)x^{(n)}(t)+a_{n-1}(t)x^{(n-1)}(t)+\dots +a_1(t)x^{\prime }(t)+a_0(t)x(t)=0$

in das lineare Differentialgleichungssystem

$x_1^{\prime }(t)=x_2(t)$

$\dots$

$x_{n-1}^{\prime }(t)=x_n(t)$

$x_n^{\prime }(t)=-\frac{a_0}{a_n}{x}_1(t)-\dots -\frac{a_{n-1}}{a_n}{x}_n(t)$

überführen. Die Lösungen dieses linearen homogenen Differentialgleichungssystems bilden einen Vektorraum. Eine Basis dieses Vektorraums wird als Fundamentalsystem bezeichnet.

Beispiele

1. Die Lösung des Anfangswertproblems $x^{\prime }(t)=-\sin t\cdot x(t),x(0)=x_0$ ist $x(t)=e^{\cos t}{x}_0$.
2. Die Differentialgleichung $x^{(3)}(t)-5x^{\prime \prime }(t)+8x^{\prime }(t)-4x(t)=0$ hat das charakteristische Polynom $P(\lambda )={\lambda }^3-5{\lambda }^2+8\lambda -4=(\lambda -1)(\lambda -2{)}^2$ und damit die Lösungen $x(t)=c_1{e}^t+c_2{e}^{2t}+c_{3}t{e}^{2t}$.