Bruhat-Graph

In der Mathematik ist die Bruhat-Ordnung eine Halbordnung auf einer Coxeter-Gruppe und der Bruhat-Graph ein zur Bruhat-Ordnung assoziierter gerichteter Graph. (Die Bruhat-Ordnung ist der transitive Abschluss der Kantenrelation.)

Definition

Sei $(W, S)$ ein Coxeter-System, d. h. eine Coxeter-Gruppe $W = ⟨ r_{1}, \dots, r_{n} ∣ (r_{i} r_{j})^{m_{i j}} = 1 ⟩$ mit Erzeugern $S = {r_{1}, \dots, r_{n}}$ . Für $w \in W$ ist ein reduziertes Wort ein Ausdruck minimaler Länge in Erzeugern aus $S$ und $l (w)$ die Länge eines reduzierten Wortes.

Die Bruhat-Ordnung ist die auf $W$ durch

w_{1} \leq w_{2} ⟺ ein Teilstring eines reduzierten Wortes für w_{2} ist ein reduziertes Wort für w_{1}

definierte Halbordnung.

Der Bruhat-Graph ist der Graph mit Knotenmenge $W$ , in dem es genau dann eine gerichtete Kante von $w_{1}$ und $w_{2}$ gibt, wenn $w_{1} w_{2}^{- 1}$ eine "Spiegelung", d. h. von der Form $w_{1} w_{2}^{- 1} = w s w^{- 1}$ mit $w \in W, s \in S$ , und $l (w_{1}) < l (w_{2})$ ist.

Beispiele

Für die symmetrischen Gruppen $S_{n}$ (mit den Transpositionen adjazenter Elemente als Erzeugendensystem) erhält man für $n = 2$ den vollständigen Graphen $K_{2}$ , für $n = 3$ den Kreisgraphen $C_{6}$ und für $n = 4$ den abgeschnittenen Oktaedergraphen.

Weblinks

Bruhat Graph (MathWorld)

Bruhat-Graph

Definition

Beispiele

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