Bewertungsspektrum

Das Bewertungsspektrum eines kommutativen Ringes ist ein topologischer Raum, dessen Punkte durch Äquivalenzklassen von Bewertungen gegeben sind. Es findet Anwendung in der Theorie adischer Räume.

Definition

Sei $A$ ein kommutativer Ring. Das Bewertungsspektrum $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{v}(A)$ von $A$ ist die Menge aller Äquivalenzklassen von nicht-archimedischen Bewertungen von $A$. Die Topologie auf $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{v}(A)$ wird von Mengen der Form

$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{v}(A)(\frac{f}{s})=\{|\cdot |\in \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{v}(A)\mid |f|\le |s|\ne 0\}$

erzeugt, wobei $f,s\in A$ beliebige Elemente sind.

Beispiele

• Der Körper $\mathbb{Q}$ der rationalen Zahlen hat die folgenden Äquivalenzklassen von nicht-archimedischen Bewertungen: Für jede Primzahl $p$ die p-adische Bewertung $|\cdot {|}_p$ und die sogenannte triviale Bewertung $|\cdot {|}_0$, die durch $|x{|}_0=1$ für alle $x\in {\mathbb{Q}}^{\times }$ gegeben ist. Eine nicht-leere Teilmenge von $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{v}(\mathbb{Q})$ ist genau dann offen, wenn sie Komplement endlich vieler p-adischer Bewertungen ist. Wir haben einen Homöomorphismus $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{v}(\mathbb{Q})=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(\mathbb{Z})$.
• Der Ring $\mathbb{Z}$ der ganzen Zahlen besitzt alle Einschränkungen von Bewertungen von $\mathbb{Q}$ als Bewertung. Zusätzlich gibt es für jede Primzahl $p$ eine Bewertung $|\cdot {|}_{p,0}$, die von der trivialen Bewertung auf dem endlichen Körper ${𝔽}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ induziert wird. Wir erhalten also als Menge $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{v}(\mathbb{Z})=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{v}(\mathbb{Q})\cup \{|\cdot {|}_{p,0}\mid p\text{ Primzahl}\}$. Jede offene Menge, die $|\cdot {|}_{p,0}$ enthält, enthält auch $|\cdot {|}_p$. Die Bewertung $|\cdot {|}_{p,0}$ ist also eine Spezialisierung von $|\cdot {|}_p$. Die abgeschlossenen Punkte von $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{v}(\mathbb{Z})$ sind genau die Bewertungen $|\cdot {|}_{p,0}$.

Eigenschaften

Das Bewertungsspektrum eines kommutativen Ringes ist ein spektraler Raum.

Ist $\phi :A\to B$ ein Ringhomomorphismus und $|\cdot |$ eine Bewertung von $B$, so ist $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{v}(\phi )(|\cdot |):=|\cdot |\circ \phi$ eine Bewertung von $A$. Für $f,s\in A$ gilt

$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{v}(\phi {)}^{-1}(\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{v}(A)(\frac{f}{s}))=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{v}(B)(\frac{\phi (f)}{\phi (s)})$

Die Abbildung $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{v}(\phi ):\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{v}(B)\to \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{v}(A)$ ist also stetig und sogar spektral.

Literatur

• Wedhorn: Adic spaces