Satz von Hopf-Whitney

Der Satz von Hopf-Whitney ist im mathematischen Gebiet der algebraischen Topologie ein Klassifikationssatz für Abbildungen eines $n$-dimensionalen Simplizialkomplexes in die $n$-dimensionale Sphäre.

Satz: Sei $X$ ein $n$-dimensionaler Simplizialkomplex. Dann gibt es eine Bijektion zwischen der Menge der Homotopieklassen von Abbildungen $f:X\to S^n$ und der $n$-ten Kohomologie von $X$:

$[X,S^n]\cong H^n(X;\mathbb{Z})$.

Die Bijektion wird vermittelt, indem man einer Abbildung $f:X\to S^n$ das Zurückgezogene $f^{*}\left[S^n\right]\in H^n(X;\mathbb{Z})$ der Fundamentalklasse $\left[S^n\right]\in H^n(S^n;\mathbb{Z})$ zuordnet.

Falls $X=M^n$ eine orientierbare, geschlossene Mannigfaltigkeit ist, ist $H^n(M^n;\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}$ und man bekommt die durch den Abbildungsgrad gegebene Bijektion $[M^n,S^n]\cong \mathbb{Z}$.

Der Satz von Hopf-Whitney gilt allgemeiner auch für Abbildungen von CW-Komplexen in $(n-1)$-zusammenhängende Räume. Sei $X$ ein $n$-dimensionaler CW-Komplex und $Y$ ein $(n-1)$-zusammenhängender Raum. Sei $\pi ={\pi }_{n}Y$. Dann gibt es ein Element $\iota \in H^n(Y;\pi )$, welches unter der Korrespondenz $H^n(Y;\pi )\cong [Y;K(\pi ,n)]\cong \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}({\pi }_{n}Y,\pi )$ dem Identitätsmorphisus entspricht, und die Zuordnung $f\to f^{*}\iota$ definiert eine Bijektion

$[X,Y]\cong H^n(X;\pi )$.

Literatur

• H. Hopf: Die Klassen der Abbildungen der n-dimensionalen Polyeder auf die n-dimensionale Sphäre, Comm. Math. Helv. 5, 39–54, 1933
• H. Whitney: The maps of an n-complex into an n-sphere, Duke Math. J. 3, 51–55, 1937