Fehler-in-den-Variablen-Modell

Darstellung einer Regressionsabschwächung durch eine Reihe von Regressionsschätzungen in Fehler-in-den-Variablen-Modellen. Zwei Regressionslinien (rot) begrenzten den Suchraum aus pontenziellen Regressionsfunktionen.

In der Statistik sind Fehler-in-den-Variablen-Modelle, auch Messfehlermodelle genannt, Regressionsmodelle für Regression mit stochastischen Regressoren, in der entweder die Antwortvariable oder einige erklärende Variablen mit Fehlern gemessen werden.

Klassisches Fehler-in-den-Variablen-Modell

Vorlage:Hauptartikel Gegeben sei im einfachsten Fall ein einfaches lineares Regressionsmodell:

$Y_i={\beta }_0+{\beta }_1{x}_i+{\epsilon }_i;i=1,\dots ,n$.

Im klassischen Fehler-in-den-Variablen-Modell wird angenommen, dass $x_i$ nur mit zufälligem Fehler $u_i$ beobachtet werden kann, d. h. man hat dann den stochastischen Regressor $z_i=x_i+u_i$. Für die Messfehler $u_i$ wird angenommen, dass sie unabhängig und identisch verteilt mit Erwartungswert null und Varianz ${\sigma }_u^2$, unkorreliert mit $x_i$ und unkorreliert mit der Störgröße ${\epsilon }_i$ sind.

Konsequenzen von Fehlern in den Variablen

Messfehler in den erklärenden Variablen führen dazu, dass die gewöhnliche Kleinste-Quadrate-Schätzung nicht konsistent ist. Intuitiv betrachtet kommt es während des Trainings des Modells zu einer Fehlerfortpflanzung, was ohne weitere Gegenmaßnahmen die Qualität des Modells beeinträchtigen kann.