Debye-Relaxation

Die Debye-Relaxation (nach Peter Debye) beschreibt zeitliche Umpolariastionsprozesse der elektrischen Polarisation eines Materials mit Hilfe von Dämpfungsgliedern erster Ordnung. Es handelt sich also um den Spezialfall der überkritisch gedämpften dielektrischen Resonanz.

Mathematische Beschreibung

Dielektrischer Schwingkreis

Aus dem Zusammenhang zwischen der elektrischen Flussdichte $D$ und der elektrischen Feldstärke $E_m$ im Material definiert sich bei $\omega =0$ die statische Dielektrizitätskonstante des Materials ${\epsilon }_s$. Bei $\omega =\mathrm{\infty }$ wird die Dieletrizität mit ${\epsilon }_{\mathrm{\infty }}$ bezeichnet. Es gilt:

$D(t)={\epsilon }_0{\epsilon }_s{E}_m(t)$,

$\tau \dot{D}(t)={\epsilon }_0{\epsilon }_{\mathrm{\infty }}\tau {\dot{E}}_m(t)$,

$\frac{1}{{\omega }_0^2}\ddot{D}(t)={\epsilon }_0{\epsilon }_{\mathrm{\infty }}\frac{1}{{\omega }_0^2}{\ddot{E}}_m(t)$

${\omega }_0$ ist die Resonanzfrequenz, $\tau$ ist die Relaxationszeit. Addition aller drei Gleichungen ergibt:

$\frac{1}{{\omega }_0^2}\ddot{D}(t)+\tau \dot{D}(t)+D(t)={\epsilon }_0{\epsilon }_{\mathrm{\infty }}\frac{1}{{\omega }_0^2}{\ddot{E}}_m(t)+{\epsilon }_0{\epsilon }_{\mathrm{\infty }}\tau {\dot{E}}_m(t)+{\epsilon }_0{\epsilon }_s{E}_m(t)$

Die Fouriertransformierte der Gleichung ist folglich:

$(-\frac{{\omega }^2}{{\omega }_0^2}+j\omega \tau +1)D(j\omega )={\epsilon }_0(-{\epsilon }_{\mathrm{\infty }}\frac{{\omega }^2}{{\omega }_0^2}+j\omega {\epsilon }_{\mathrm{\infty }}\tau +{\epsilon }_s)E_m(j\omega )$

Es gilt also für die komplexe frequenzabhängige elektrische Permittivität ${\underset{\_}{\epsilon }}_r$:

${\underset{\_}{\epsilon }}_r={\epsilon }_{r^{\prime }}-j{\epsilon }_{r^{″}}=\frac{D(j\omega )}{{\epsilon }_0{E}_m(j\omega )}=\frac{-{\epsilon }_{\mathrm{\infty }}\frac{{\omega }^2}{{\omega }_0^2}+j\omega {\epsilon }_{\mathrm{\infty }}\tau +{\epsilon }_s}{-\frac{{\omega }^2}{{\omega }_0^2}+j\omega \tau +1}=\frac{{\epsilon }_s-{\epsilon }_{\mathrm{\infty }}}{-\frac{{\omega }^2}{{\omega }_0^2}+j\omega \tau +1}+{\epsilon }_{\mathrm{\infty }}$

Die Aufteilung in Realteil ${\epsilon }_{r^{\prime }}$ und Imaginärteil ${\epsilon }_{r^{″}}$ ergibt nun:

${\epsilon }_{r^{\prime }}=\frac{({\epsilon }_s-{\epsilon }_{\mathrm{\infty }})(1-\frac{{\omega }^2}{{\omega }_0^2})}{{(1-\frac{{\omega }^2}{{\omega }_0^2})}^2+{\left(\omega \tau \right)}^2}+{\epsilon }_{\mathrm{\infty }}$,

${\epsilon }_{r^{″}}=\frac{({\epsilon }_s-{\epsilon }_{\mathrm{\infty }})\omega \tau }{{(1-\frac{{\omega }^2}{{\omega }_0^2})}^2+{\left(\omega \tau \right)}^2}$

Grenzfall für Debye-Relaxation

Wenn die Relaxationszeiten $\tau \gg {\omega }_0^{-1}$ viel größer gegenüber der inversen Resonanzfrequenz unterliegt das Material einer Debye-Relaxation. Die zeitlichen Ableitungen zweiter Ordnung können demnach vernachlässigt werden und es gilt:

${\epsilon }_{r^{\prime }}=\frac{({\epsilon }_s-{\epsilon }_{\mathrm{\infty }})}{1+{\left(\omega \tau \right)}^2}+{\epsilon }_{\mathrm{\infty }}$

${\epsilon }_{r^{″}}=\frac{({\epsilon }_s-{\epsilon }_{\mathrm{\infty }})\omega \tau }{1+{\left(\omega \tau \right)}^2}$

Den Plot von ${\epsilon }_{r^{\prime }}$ gegen ${\epsilon }_{r^{″}}$ nennt man Cole-Cole-Diagramm, der direkte Zusammenhang zwischen ${\epsilon }_{r^{\prime }}$ und ${\epsilon }_{r^{″}}$ wird Kramers-Kronig-Relation bezeichnet und es wird der Verlustfaktor definiert zu:

$\tan \left(\delta \right)=\frac{{\epsilon }_{r^{″}}}{{\epsilon }_{r^{\prime }}}$

Für den über die Frequenz maximierten Verlustfaktor gilt:

$\tan {\left(\delta \right)}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=\frac{{\epsilon }_s-{\epsilon }_{\mathrm{\infty }}}{2\sqrt{{\epsilon }_s{\epsilon }_{\mathrm{\infty }}}}$

Literatur

• Ellen Ivers-Tiffee, Waldemar von Münch: Werkstoffe der Elektrotechnik. 10. Auflage. Teubner Verlag, 2007, ISBN 978-3-8351-0052-7.