Sudakov-Formfaktor

Die Sudakov-Formfaktoren ${\mathrm{\Delta }}_F(Q^2,q^2)$ beschrieben die Wahrscheinlichkeit des Abstrahlens von Partonen durch Partonen vor und nach dem harten Prozess beim Partonschauer. Die Faktoren geben an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Parton $F$ bei der Entwicklung der Virtualität des Teilchens von $q^2$ bis $Q^2$ kein zusätzliches Parton abstrahlt. Man spricht daher von Nichtabstrahlungswahrscheinlichkeiten.

Herleitung

Grundlage für die Herleitung ist die folgende Differentialgleichung, welche die Abstrahlungshäufigkeit in der Partonevolution nach steigendem $q^2$ beschreibt:

$\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}(q^2)}=-\frac{N}{q^2}\frac{\alpha s}{2\pi }\underset{Q_0^2/q^2}{\overset{1-Q_0^2/q^2}{\int }}\mathrm{d}z{P}_{FG}(z)$

Dabei wird mit $F$ das Parton vor der Abstrahlung und mit $G$ das Parton nach der Abstrahlung bezeichnet. Das abgestrahlte Parton ist durch diese Angaben bereits festgelegt. Die $P_{FG}$ sind die unregularisierten Kollinearsplitting-Funktionen (Siehe auch DGLAP-Gleichungen#Splitting-Funktionen.)

Daraus erhält man dann für die Sudakov-Formfaktoren durch Lösen der obigen Gleichung nach $N$ und normieren:

${\mathrm{\Delta }}_F(Q^2,q^2)=\exp (-\underset{q^2}{\overset{Q^2}{\int }}\frac{\mathrm{d}{k}^2}{k^2}\frac{\alpha s}{2\pi }\underset{Q_0^2/q^2}{\overset{1-Q_0^2/q^2}{\int }}\mathrm{d}z{P}_{FG}(z))$

wobei hier implizit im Exponenten über alle möglichen $G$ summiert wird.