Satz von Poincaré (Gruppentheorie)

Zu den zahlreichen Resultaten, die Henri Poincaré in verschiedenen Teilgebieten der Mathematik beigetragen hat, gehört in der Gruppentheorie ein als Satz von Poincaré bezeichneter Lehrsatz, in dem Poincaré eine grundlegende Fragestellung zu Indizes von Untergruppen behandelt.^[1]^[2]^[3]

Formulierung

Der Satz lässt sich zusammengefasst formulieren wie folgt:^[1]^[2]^[3]

Gegeben seien eine Gruppe $G$ und darin endlich viele Untergruppen $U_{1}, \dots, U_{n} \leq G (n \in ℕ)$ .

Dann gelten folgende Aussagen:

(i)

(G : ⋂_{i = 1}^{n} U_{i}) \leq \prod_{i = 1}^{n} (G : U_{i})

(ii) Haben die $U_{i} (i = 1, \dots, n)$ in $G$ sämtlich endlichen Index, so hat ihr Durchschnitt $⋂_{i = 1}^{n} U_{i}$ selbst endlichen Index.

Die grundlegende Abschätzung bei (i) ergibt sich unmittelbar daraus, dass für zwei Untergruppen $U_{1}, U_{2} \leq G$ und $x \in G$ jede $U_{1} \cap U_{2}$ -Nebenklasse die Gleichung $(U_{1} \cap U_{2}) x = U_{1} x \cap U_{2} x$ erfüllt. Damit gewinnt man für den Fall $n = 2$ sogleich die genannte Abschätzung, die sich dann auf den allgemeinen Fall durch vollständige Induktion ausdehnen lässt.^[2]
Unter gewissen Bedingungen gilt oben bei (i) sogar das Gleichheitszeichen. Liegen etwa zwei Untergruppen $U_{1}, U_{2} \leq G$ vor, deren Indizes in $G$ beide endlich und dabei teilerfremd sind, so gilt sogar $(G : U_{1} \cap U_{2}) = (G : U_{1}) \cdot (G : U_{2})$ .^[2]