Satz von Schur-Horn

In der Mathematik charakterisiert der Satz von Schur-Horn die möglichen Eigenwerte einer hermiteschen Matrix mit gegebener Hauptdiagonale.

Formulierung des Satzes

Eine hermitesche Matrix mit Diagonaleinträgen $d_1\ge d_2\ge \dots \ge d_n$ und Eigenwerten ${\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge \dots \ge {\lambda }_n$ existiert genau dann, wenn die Schur-Horn-Ungleichungen

$d_1\le {\lambda }_1$

$d_1+d_2\le {\lambda }_1+{\lambda }_2$

$\dots$

$d_1+\dots +d_{n-1}\le {\lambda }_1+\dots +{\lambda }_{n-1}$

und die Gleichung

$d_1+\dots +d_n={\lambda }_1+\dots +{\lambda }_n$

erfüllt sind.

Die Notwendigkeit der Bedingung wurde von Issai Schur bewiesen, die umgekehrte Richtung von Alfred Horn.

Literatur

• I. Schur: Über eine Klasse von Mittelbildungen mit Anwendungen auf die Determinantentheorie, Sitzungsber. Berl. Math. Ges. 22 (1923), 9–20.
• A. Horn: Doubly stochastic matrices and the diagonal of a rotation matrix, American Journal of Mathematics 76 (1954), 620–630.
• Andreas Knauf: Mathematische Physik: Klassische Mechanik. Springer, 2017, ISBN 978-3-662-55776-1, S. 349 ff.

Weblinks

• Vorlage:MathWorld
• Terry Tao: 254A, Notes 3a: Eigenvalues and sums of Hermitian matrices
• Sheela Devadas, Peter J. Haine, Keaton Stubis: The Schur-Horn Theorem