Satz von Jacobi (Geometrie)

Satz von Jacobi, gleichfarbige Winkel sind gleich groß

Der Satz von Jacobi, benannt nach Karl Friedrich Andreas Jacobi, ist eine Aussage in der Elementargeometrie über Dreiecke beziehungsweise über ein spezielles aus Dreiecken erzeugtes Sechseck.

Zu einem gegebenen beliebigen Dreieck $ABC$ errichtet man über dessen Seiten drei weitere Dreiecke $ABD$, $BCE$ und $ACF$, so dass an den Eckpunkten des $A$, $B$ und $C$ je zwei gleich große Winkel anliegen, also $\mathrm{\angle }DAB=\mathrm{\angle }CAF$, $\mathrm{\angle }ABD=\mathrm{\angle }CBE$ und $\mathrm{\angle }BCE=\mathrm{\angle }ACF$ gilt. Der Satz von Jacobi besagt nun, dass sich die drei Strecken $AE$, $BF$ und $CD$ in einem gemeinsamen Punkt $G$ schneiden.

Der gemeinsame Schnittpunkt $G$ wird als Jacobi-Punkt bezeichnet. Man beachte, dass der Jacobi-Punkt eine Eigenschaft des Sechsecks $ADBECF$ und nicht des Ausgangsdreiecks $ABC$ ist, denn neben dem Dreieck hängt er auch von den an seinen drei Eckpunkten anliegenden Winkeln ab. Man kann ihn als eine Verallgemeinerung des Fermat-Punktes auffassen, den man erhält, wenn das Ausgangsdreieck $ABC$ keinen Winkel größer als $120^{\circ }$ besitzt und die an den Eckpunkten des Dreiecks anliegenden Winkel $60^{\circ }$ betragen beziehungsweise man über den Dreieckseiten gleichseitige Dreiecke errichtet.

Der Satz von Jacobi verallgemeinert den Satz von Kiepert, der die Errichtung gleichschenkliger Dreiecke mit gleichen Basiswinkel über den Seiten des Dreiecks $ABC$ betrachtet.

Literatur

• Glenn T. Vickers: Reciprocal Jacobi Triangles and the McCay Cubic. In: Forum Geometricorum, Band 15, 2015, Vorlage:ISSN, S. 179–183
• Hans Walser: 99 Points of Intersection: Examples-Pictures-Proofs. MAA, 2006, ISBN 978-0-88385-553-9, S. 135

Weblinks

• Kiepert's And Jacobi's Theorems auf cut-the-knot.org (englisch)
• Satz, Beweis und Anwendungen bei The Art of Problem Solving (Website, englisch)
• LE THÉORÈME DE JACOBI. UNE NOUVELLE APPROCHE SYNTHÉTIQUE (PDF, französisch)