Glaubwürdigkeitsintervall

In der Statistik ist ein Glaubwürdigkeitsintervall, auch Kredibilitätsintervall genannt, das bayessche Pendant zum Konfidenzintervall in der frequentistischen Statistik. Bayessche Intervallschätzer werden von der A-Posteriori-Verteilung abgeleitet. Um sie von den Konfidenzintervallen zu unterscheiden, die eine andere Interpretation haben, werden sie Glaubwürdigkeitsintervalle genannt. Das Glaubwürdigkeitsintervall besagt, dass der unbekannte Parameter $\vartheta$ mit Wahrscheinlichkeit $\gamma$ in diesem Intervall liegt.

Das Höchste-Dichte 90% Glaubwürdigkeitsinterval (nicht symmetrisch) basierend auf einer A-posteriori-Verteilung.

Definition

Für ein fest vorgegebenes $\gamma \in (0,1)$ ist ein $\gamma \cdot 100\mathrm{\%}$-Glaubwürdigkeitsintervall für $\vartheta$ zum Glaubwürdigkeitsniveau $\gamma$ (auch: ein $\gamma$-Glaubwürdigkeitsintervall) durch zwei reelle Zahlen $t_l$ und $t_u$ definiert, welche

$\underset{t_l}{\overset{t_u}{\int }}f(\vartheta \mid x)\mathrm{d}\vartheta =\gamma$

erfüllen. Hierbei stellt $f(\vartheta \mid x)$ die A-Posteriori-Verteilung dar.

Der einfachste Weg zur Konstruktion eines Glaubwürdigkeitsintervall besteht darin, die Gewichte in den Rändern der A-Posteriori-Verteilung symmetrisch zu konstruieren: $t_l$ als das $(1-\gamma )/2$-Quantil und $t_u$ als das $(1+\gamma )/2$-Quantil der A-Posteriori-Verteilung. Um solche Glaubwürdigkeitsintervalle zu berechnen, muss man die Quantile der A-Posteriori-Verteilung berechnen.

Interpretation

Da der unbekannte Parameter $\vartheta \mid x$ eine Zufallsvariable ist, kann man sagen, dass $\vartheta \mid x$ in einem $\gamma \cdot 100\mathrm{\%}$-Glaubwürdigkeitsintervall mit Wahrscheinlichkeit $\gamma$ liegt. Im Gegensatz zu dieser Interpretation besagt ein Konfidenzintervall, dass wenn man das Zufallsexperiment auf identische Art und Weise wiederholt, dann wird ein $\gamma \cdot 100\mathrm{\%}$-Konfidenzintervall den unbekannten Parameter $\vartheta$ in $\gamma \cdot 100\mathrm{\%}$ aller Fälle überdecken.

Siehe auch

• Zentrales Schwankungsintervall