Normalordnung

In der Quantenfeldtheorie bezeichnet die Normalordnung (auch Wick-Ordnung oder Normalprodukt) den Zustand, in welchem alle Erzeugungsoperatoren links der Vernichtungsoperatoren stehen. Analog wird die Antinormalordnung definiert, wenn die Vernichtungsoperatoren links der Erzeugungsoperatoren stehen.

Notation

Die Notation $:\hat{O}:$ bezeichnet die Normalordnung von $\hat{O}$, wobei $\hat{O}$ ein beliebig angeordnetes Produkt von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren (oder Quantenfeldern) ist. Alternativ wird auch die Notation $𝒩(\hat{O})$ benutzt.

Bosonen

Bei Verwendung der bosonischen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren wird die folgende Notation verwendet:

• ${\hat{b}}^{†}$: Erzeugungsoperator.
• $\hat{b}$: Vernichtungsoperator.

Diese erfüllen die typischen Kommutatorrelationen für Bosonen.

Beispiele

1. Das einfachste Beispiel ist $:{\hat{b}}^{†}\hat{b}:$:

$:{\hat{b}}^{†}\hat{b}:={\hat{b}}^{†}\hat{b}.$

Hier wird ${\hat{b}}^{†}\hat{b}$ nicht verändert, weil der Ausdruck bereits in der Normalordnung vorliegt. Der Erzeugungsoperator ${\hat{b}}^{†}$ steht bereits links des Vernichtungsoperator $\hat{b}$.

2. Ein interessanteres Beispiel ist die Normalordnung von $\hat{b}{\hat{b}}^{†}$:

$:\hat{b}{\hat{b}}^{†}:={\hat{b}}^{†}\hat{b}.$

Hier wird durch die Normalordnungs-Operation der Ausdruck umgeordnet, sodass ${\hat{b}}^{†}$ links von $\hat{b}$ steht.

Diese beiden Ergebnisse können zusammen mit den oben genannten Kommutatorrelationen zu

$\hat{b}{\hat{b}}^{†}={\hat{b}}^{†}\hat{b}+1=:\hat{b}{\hat{b}}^{†}:+1.$

oder

$\hat{b}{\hat{b}}^{†}-:\hat{b}{\hat{b}}^{†}:=1.$

zusammengefasst werden. Diese Gleichung wird bei der Definition der Kontraktionen im Wick-Theorem benutzt.

3. Falls mehrere Operatoren beteiligt sind, so ergibt sich:

$:{\hat{b}}^{†}\hat{b}\hat{b}{\hat{b}}^{†}\hat{b}{\hat{b}}^{†}\hat{b}:={\hat{b}}^{†}{\hat{b}}^{†}{\hat{b}}^{†}\hat{b}\hat{b}\hat{b}\hat{b}=({\hat{b}}^{†}{)}^3{\hat{b}}^4.$

4. Ein einfaches Beispiel zeigt, dass die Normalordnung keine lineare Operation ist:

${\hat{b}}^{†}\hat{b}=:\hat{b}{\hat{b}}^{†}:=:1+{\hat{b}}^{†}\hat{b}:\ne :1:+:{\hat{b}}^{†}\hat{b}:=1+{\hat{b}}^{†}\hat{b}$

5. Wenn mehrere Bosonen beteiligt sind, so ergibt sich:

1. $:{\hat{b}}_1^{†}{\hat{b}}_2:={\hat{b}}_1^{†}{\hat{b}}_2$
2. $:{\hat{b}}_2{\hat{b}}_1^{†}:={\hat{b}}_1^{†}{\hat{b}}_2$
3. $:{\hat{b}}_1^{†}{\hat{b}}_2{\hat{b}}_3:={\hat{b}}_1^{†}{\hat{b}}_2{\hat{b}}_3$
4. $:{\hat{b}}_2{\hat{b}}_1^{†}{\hat{b}}_3:={\hat{b}}_1^{†}{\hat{b}}_2{\hat{b}}_3$
5. $:{\hat{b}}_3{\hat{b}}_2{\hat{b}}_1^{†}:={\hat{b}}_1^{†}{\hat{b}}_2{\hat{b}}_3$

Fermionen

Einzelne Fermionen

Bei Verwendung von Fermionen werden die Operatoren

• ${\hat{f}}^{†}$: Fermionischer Erzeugungsoperator,
• $\hat{f}$: Fermionischer Vernichtungsoperator

benutzt. Diese erfüllen die typischen Antikommutatorrelationen für Fermionen:

${[{\hat{f}}^{†},{\hat{f}}^{†}]}_{+}=0$

${[\hat{f},\hat{f}]}_{+}=0$

${[\hat{f},{\hat{f}}^{†}]}_{+}=1$

wobei ${[A,B]}_{+}\equiv AB+BA$ den Antikommutator definiert. Diese können umgeschrieben werden zu

${\hat{f}}^{†}{\hat{f}}^{†}=0$

$\hat{f}\hat{f}=0$

$\hat{f}{\hat{f}}^{†}=1-{\hat{f}}^{†}\hat{f}.$

Um die Normalordnung für Fermionen zu definieren, muss die Anzahl der Vertauschungen beachtet werden, da für jede Vertauschung ein Minuszeichen auftritt.

Beispiele

1. Zu Beginn nochmals der einfachste Fall:

$:{\hat{f}}^{†}\hat{f}:={\hat{f}}^{†}\hat{f}$

Es liegt bereits eine Normalordnung vor. Umgekehrt wird jedoch aufgrund der Vertauschung beider Operatoren ein Minuszeichen eingeführt:

$:\hat{f}{\hat{f}}^{†}:=-{\hat{f}}^{†}\hat{f}$

Dies kann zusammen mit den Antikommutatorrelationen benutzt werden um

$\hat{f}{\hat{f}}^{†}=1-{\hat{f}}^{†}\hat{f}=1+:\hat{f}{\hat{f}}^{†}:$

oder

$\hat{f}{\hat{f}}^{†}-:\hat{f}{\hat{f}}^{†}:=1$

zu zeigen. Auch diese Gleichung wird im Wick-Theorem benutzt, um die Kontraktion einzuführen.

2. Die Normalordnung jedes komplizierten Falls ergibt Null, da mindestens ein Erzeugungs- oder Vernichtungsoperator zweimal auftritt. Beispielsweise:

$:\hat{f}{\hat{f}}^{†}\hat{f}{\hat{f}}^{†}:=-{\hat{f}}^{†}{\hat{f}}^{†}\hat{f}\hat{f}=0$

Mehrere Fermionen

Bei der Verwendung von $N$ verschiedenen Fermionen gibt es $2N$ Operatoren:

• ${\hat{f}}_i^{†}$: der Erzeugungsoperator des $i$-ten Fermions.
• ${\hat{f}}_i$: der Vernichtungsoperator des $i$-ten Fermions.

Wobei $i=1,\dots ,N$.

Diese erfüllen die Kommutatorrelationen:

${[{\hat{f}}_i^{†},{\hat{f}}_j^{†}]}_{+}=0$

${[{\hat{f}}_i,{\hat{f}}_j]}_{+}=0$

${[{\hat{f}}_i,{\hat{f}}_j^{†}]}_{+}={\delta }_{ij}$

wobei $i,j=1,\dots ,N$ und ${\delta }_{ij}$ das Kronecker-Delta bezeichnet.

Dies kann umgeschrieben werden zu:

${\hat{f}}_i^{†}{\hat{f}}_j^{†}=-{\hat{f}}_j^{†}{\hat{f}}_i^{†}$

${\hat{f}}_i{\hat{f}}_j=-{\hat{f}}_j{\hat{f}}_i$

${\hat{f}}_i{\hat{f}}_j^{†}={\delta }_{ij}-{\hat{f}}_j^{†}{\hat{f}}_i.$

Beispiele

1. Für zwei verschiedene Fermionen ($N=2$) ergibt sich

$:{\hat{f}}_1^{†}{\hat{f}}_2:={\hat{f}}_1^{†}{\hat{f}}_2$

Da der Ausdruck bereits in Normalordnung vorliegt, ändert sich nichts.

$:{\hat{f}}_2{\hat{f}}_1^{†}:=-{\hat{f}}_1^{†}{\hat{f}}_2$

Hier muss ein Minuszeichen eingefügt werden, da die Ordnung zweier Operatoren vertauscht wurde.

$:{\hat{f}}_2{\hat{f}}_1^{†}{\hat{f}}_2^{†}:={\hat{f}}_1^{†}{\hat{f}}_2^{†}{\hat{f}}_2=-{\hat{f}}_2^{†}{\hat{f}}_1^{†}{\hat{f}}_2$

Anders als im bosonischen Fall spielt hier die Reihenfolge, in welcher die Operatoren aufgeschrieben werden, eine Rolle.

2. Bei drei verschiedenen Fermionen ($N=3$) ergibt sich:

$:{\hat{f}}_1^{†}{\hat{f}}_2{\hat{f}}_3:={\hat{f}}_1^{†}{\hat{f}}_2{\hat{f}}_3=-{\hat{f}}_1^{†}{\hat{f}}_3{\hat{f}}_2$

$:{\hat{f}}_2{\hat{f}}_1^{†}{\hat{f}}_3:=-{\hat{f}}_1^{†}{\hat{f}}_2{\hat{f}}_3={\hat{f}}_1^{†}{\hat{f}}_3{\hat{f}}_2$

$:{\hat{f}}_3{\hat{f}}_2{\hat{f}}_1^{†}:={\hat{f}}_1^{†}{\hat{f}}_3{\hat{f}}_2=-{\hat{f}}_1^{†}{\hat{f}}_2{\hat{f}}_3$

Literatur

• F. Mandl, G. Shaw, Quantum Field Theory, John Wiley & Sons, 1984.
• Wolfgang Nolting, Grundkurs Theoretische Physik 7, Springer Berlin Heidelberg, 2009