Regenerativer Prozess

Ein regenerativer Prozess ist ein spezieller stochastischer Prozess, der unter anderem in der Warteschlangentheorie und Erneuerungstheorie vorkommt.

Definition

Sei $\{X_t{\}}_{t\in I}$, mit $I=\mathbb{N}$ oder $I=[0,\mathrm{\infty }[$, ein stochastischer Prozess mit Werten in einem Zustandsraum $(E,ℰ)$. Wir nennen den (un-/verzögerten) Prozess $\{X_t{\}}_{t\in I}$regenerativ (im weiten Sinne), wenn ein (un-/verzögerter) Erneuerungsprozess $\{S_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}=\{Y_0+\dots +Y_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ existiert, sodass für alle $n\ge 0$ der Post-$S_n$-Prozess $(Y_{n+1},Y_{n+2},\dots ,\{X_{S_n+t}{\}}_{t\in I})$ sowohl unabhängig von $S_0,\dots ,S_n$ (bzw. $Y_0,\dots ,Y_n$) ist, als auch seine Verteilung nicht von $n$ abhängt. Wir nennen $\{S_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ den eingebetteten Erneuerungsprozess und die $S_n$Regenerationszeiten.

Diese Definition erlaubt eine gewisse Abhängigkeit zwischen den Zyklen, im Gegensatz zu der klassischen Definition, welche fordert, dass der Post-$S_n$-Prozess unabhängig von $S_0,\dots ,S_n$und $\{X_t{\}}_{t<S_n}$ist.

Beispiele

Klassische Beispiele von regenerativen Prozessen sind:

• positiv rekurrente, irreduzible Markovketten (in stetiger wie diskreter Zeit)
• G/G/1-Warteschlangen
• Alterprozess und Restlebensdauerprozess eines Erneuerungsprozesses

Grenzverhalten

Regenerative Prozesse besitzen eine Grenzverteilung unter vergleichsweise milden Bedingungen, die in vielen Anwendungen automatisch erfüllt sind.