Kettenlogarithmus

Ein Kettenlogarithmus ist ein Objekt der reellen Analysis, das, ähnlich wie ein Kettenbruch, eine Darstellung der reellen Zahlen erlaubt. Ein endlicher Kettenlogarithmus zu einer ganzzahligen Basis $m\ge 3$ ist ein Ausdruck der Form

$K{\log }_m(d_1,\dots ,d_n):={\log }_m(d_1+{\log }_m(d_2+{\log }_m(\dots +{\log }_m(d_n)\dots ),$

mit $d_k\in \{1,\dots ,m-1\}$ für $k=1,\dots n$. ${\log }_m(x)$ bezeichnet den Logarithmus zur Basis $m$ von $x$. Ein unendlicher Kettenlogarithmus ist durch den Grenzwert

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{𝐾\log }_m(d_1,\dots ,d_n),$

für eine Folge in $\{1,\dots ,m-1{\}}^{\mathbb{N}}$, gegeben. Für eine Basis $m\ge 3$ hat jede reelle Zahl in $[0,1]$ eine Darstellung durch einen unendlichen Kettenlogarithmus und diese Darstellung ist bis auf einen abzählbare Menge reeller Zahlen eindeutig. In der Darstellung fast aller reellen Zahlen in $[0,1]$, in Bezug auf das Lebesgue-Maß, kommen alle Zahlen in $\{1,\dots ,m-1\}$ unendlich oft vor. Auf der anderen Seite sind fast alle Zahlen nicht normal im Bezug auf ihre Darstellung als Kettenlogarithmus, d. h. die Zahlen in $\{1,\dots ,m-1\}$ kommen nicht mit gleicher Häufigkeit vor.