Hardy-Weinberg-Gleichgewicht

Hardy-Weinberg-Gleichgewicht für zwei Allele: die horizontale Achse zeigt die beiden Allelfrequenzen p und q, die vertikale Achse zeigt die Genotypfrequenzen. Die drei möglichen Genotypen sind durch unterschiedliche Zeichen dargestellt.

Das Hardy-Weinberg-Gleichgewicht (HWG) (nach dem Mathematiker G. H. Hardy und dem Arzt und Vererbungsforscher Wilhelm Weinberg) ist ein Begriff der Populationsgenetik.

Zur Berechnung dieses mathematischen Modells geht man von einer in der Realität nicht vorzufindenden idealen Population aus. Dies bedeutet, dass keine Evolution stattfindet, da keine Evolutionsfaktoren greifen, die den Genpool verändern könnten. Für diesen Fall ergibt sich für jede beliebige Genotypverteilung der Elterngeneration eine nur von den Allelfrequenzen abhängige Genotypverteilung der ersten Tochtergeneration, die sich in den folgenden Generationen nicht mehr ändert. Mathematisch handelt es sich bei diesem sogenannten Gleichgewicht um einen Fixpunkt der durch den Vererbungsmechanismus definierten Funktion.

Das Hardy-Weinberg-Gleichgewicht wird trotz seines modellhaften Charakters zur Ableitung populationsgenetischer Gesichtspunkte vom Modell auf die Realität verwendet. Insbesondere bei relativ großen Populationen lässt sich dieses Modell realistisch anwenden. Ferner findet die Regel Anwendung zur Berechnung des Anteils heterozygoter Individuen (hier im Beispiel: Aa) bei dominant-rezessiven Erbgängen, da heterozygote Organismen von homozygot dominanten (hier: AA) phänotypisch nicht zu unterscheiden sind, weil sich das dominante Allel durchsetzt.

Geschichte

Der Beitrag G. H. Hardys

G. H. Hardy

Die Mendelschen Gesetze wurden im Jahre 1900 wiederentdeckt, allerdings wurden sie noch einige Jahre bezweifelt, da man noch keine Aussage fand, wie daraus eine stabile Nachfolgegeneration entstehen kann. Udny Yule argumentierte 1902 gegen die Anwendung, da er glaubte, die dominanten Allele müssten sich mit der Zeit in der Population verbreiten. Der US-Amerikaner William Ernest Castle zeigte 1903, dass ohne Selektion die genotypischen Häufigkeiten stabil blieben. Karl Pearson, heute bekannt für seine Beiträge zur Statistik, fand 1903 einen Gleichgewichtspunkt bei p = q = 0,5. Der britische Genetiker Reginald Punnett, der Yules Gegendarstellung nicht widerlegen konnte, befragte seinen Cricket-Spielpartner Godfrey Harold Hardy, einen reinen Mathematiker, der die angewandte Mathematik eigentlich verachtete. Im Jahre 1908 veröffentlichte Hardy einen Beitrag, in dem er das „sehr einfache“ Problem (seine Worte) mit den Begriffen der Biologen erläuterte. Vorlage:Zitat Damit war dieses Prinzip in der englischsprachigen Welt als „Hardys Gesetz“ bekannt.

Der Beitrag Wilhelm Weinbergs

Ebenfalls im Jahr 1908 hielt der deutsche Arzt und Vererbungsforscher Wilhelm Weinberg einen wissenschaftlichen Vortrag in Stuttgart mit dem Titel „Über den Nachweis der Vererbung beim Menschen“. Darin führte er aus: Vorlage:Zitat Weinbergs Arbeit blieb im angelsächsischen Raum ganz unbekannt, bis der deutsche Emigrant Curt Stern 1943 auf Weinbergs Arbeiten aufmerksam machte. Seither trägt das populationsgenetische Gesetz den Namen beider Männer. Selten wird auch Castles Name mit hinzugenommen, der das Prinzip früh erkannte, jedoch war dessen Formulierung nicht identisch.

Kennzeichen einer idealen Population

• Sehr große Individuenzahl: Der zufällige Verlust eines Individuums oder Gendrift verändert praktisch nicht die Häufigkeit der Allele, was bei einer kleinen Population relativ große Auswirkungen hätte.
• Panmixie: Alle Paarungen, auch von Trägern verschiedener Genotypen, sind gleich wahrscheinlich und gleich erfolgreich.
• Es gibt keine Selektion, somit also weder Selektionsvorteile noch -nachteile für die Träger bestimmter Gene (Genotyp), die sich phänotypisch auswirken.
• Es finden keine Mutationen statt.
• Es finden keine Zu- oder Abwanderungen (Migration) statt, die die Allelfrequenz verändern.

Die ideale Population ist ein theoretisches Konstrukt, da in der Realität mindestens eine der Bedingungen, welche alle Evolutionsfaktoren sind, nicht erfüllt wird. Evolution findet also stets dann statt, wenn die obigen Voraussetzungen nicht gelten.

Berechnungsformel für 2 Allele

In dem Fall, in dem für ein Gen nur zwei verschiedene Allele P und Q mit den relativen Häufigkeiten ("Allelfrequenzen") p und q existieren, lautet die Formel für das Hardy-Weinberg-Gleichgewicht:

$(p+q{)}^2=p^2+2pq+q^2=1$

Dabei sind:

$p$: Allelfrequenz von Allel $P$

$q$: Allelfrequenz von Allel $Q$

Die Formel p² + 2pq + q² = 1 drückt aus, dass sich im Hardy-Weinberg-Gleichgewicht die folgenden 3 Terme zu 1 (bzw. 100 %) ergänzen:

$p^2$: Frequenz der Homozygoten mit Merkmal P

$q^2$: Frequenz der Homozygoten mit Merkmal Q

$2pq$: Frequenz der Heterozygoten (Merkmale P und Q)

Da es sich bei den Homozygoten- und Heterozygoten-Frequenzen in der Regel um experimentell bestimmbare Größen handelt, kann man daraus die entsprechenden Allelfrequenzen errechnen. Umgekehrt kann man bei Kenntnis einer Allelfrequenz auch die Zahl der zu erwartenden Heterozygoten und Homozygoten berechnen.

1. Beispiel: Phenylketonurie

Die Phenylketonurie ist eine Stoffwechselkrankheit mit autosomal-rezessivem Erbgang. In Deutschland (ca. 80 Millionen Einwohner) gibt es grob geschätzt ungefähr 8.000 Betroffene. Damit ergibt sich für die Homozygotenfrequenz $p^2$:

$p^2=\frac{8.000}{80.000.000}=0,0001$

Mit

$p=\sqrt{p^2}=0,01$

und

$p+q=1$

folgt

$q=1-p=0,99$

Für die Frequenz der Heterozygoten $2pq$ gilt damit:

$2pq=2\cdot (0,01\cdot 0,99)=0,0198$

Umgerechnet auf die Gesamtbevölkerung ergibt sich für die absolute Zahl der Heterozygoten:

$0,0198\cdot 80.000.000=1.584.000$

D. h. fast 1,6 Millionen Personen (ca. 2 % der Bevölkerung, etwa eine unter 50 Personen) sind in Deutschland heterozygot für das krankheitsauslösende Phenylketonurie-Allel.

Bei einem sehr kleinen Wert von p kann man in erster Näherung sagen, dass q ≈ 1 und damit gilt näherungsweise für die Heterozygotenfrequenz 2pq ≈ 2p. Im obigen Beispiel ergibt diese Abschätzung den Wert 1,6 Millionen.

2. Beispiel: Chorea Huntington

Die Chorea Huntington ist eine autosomal-dominant vererbte neurologische Erkrankung. Sowohl die Heterozygoten als auch die Homozygoten sind klinisch erkrankt. Die Inzidenz der Erkrankung wird mit 5:100.000 angegeben. Die Erkrankten setzen sich aus den für das krankheitsauslösende Allel p Homozygoten (p²) und die Heterozygoten (2pq) zusammen. Somit sind die Gesunden homozygote Träger des rezessiven Merkmals. Es gilt:

$q^2=1-(p^2+2pq)=1-0,00005=0,99995$

Daraus erhält man q

$q=\sqrt{0,99995}=0,999975$

Und damit p

$p=1-q=0,000025$

Die Homozygotenfrequenz (des dominanten Merkmals) ist damit

$p^2=0,000000000625\dots$

Das entspräche einer Person auf etwa 1,6 Milliarden. Mit anderen Worten sind mit großer Wahrscheinlichkeit alle in Deutschland an Chorea Huntington erkrankten Personen heterozygot für das krankheitsauslösende Allel. Auch hier gilt in erster Näherung 2pq ≈ 2p.

Verallgemeinerung für mehr als 2 Allele

Die Hardy-Weinberg-Formel lässt sich einfach für den Fall von mehr als 2 Allelen verallgemeinern. Im Folgenden ist der Fall von 3 verschiedenen Allelen P, Q, R mit Allelfrequenzen (p  q  r) ausgeführt. Dann gilt:

$(p+q+r{)}^2=p^2+q^2+r^2+2pq+2pr+2qr=1$

Dabei sind:

$p^2$ : Frequenz der bezüglich Merkmal P Homozygoten

$q^2$ : Frequenz der bezüglich Merkmal Q Homozygoten

$r^2$ : Frequenz der bezüglich Merkmal R Homozygoten

$2pq$ : Frequenz der bezüglich der Merkmale P und Q Heterozygoten

$2qr$ : Frequenz der bezüglich der Merkmale Q und R Heterozygoten

$2pr$ : Frequenz der bezüglich der Merkmale P und R Heterozygoten

Verallgemeinert auf n Allele A₁ … A_n mit den relativen Häufigkeiten p₁, …, p_n gilt dann im Hardy-Weinberg-Gleichgewicht:

$(p_1+\cdots +p_n{)}^2=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{p}_i{p}_j=1$

mit den jeweiligen Homozygotenfrequenzen von Merkmal A_i:

$p_i^2$

und den Heterozygotenfrequenzen (Merkmale A_i und A_j):

$2p_i{p}_j$.

Beispiel: AB0-Blutgruppensystem (3 Allele)

Häufigkeit der AB0-Blutgruppen in Deutschland

Aus den Blutgruppenhäufigkeiten berechnete Häufigkeiten der zugrunde liegenden Genotypen (mit leichten rundungsbedingten Abweichungen)

Die Allele für die Blutgruppen A und B sind kodominant, während das Allel für die Blutgruppe 0 rezessiv ist. Wenn die Häufigkeiten der Gene für A, B und 0 im Genpool a, b und o sind (mit a+b+o=1), gilt für die Häufigkeit der Blutgruppen (Phänotypen):

$a^2+2ao$ : Frequenz der Personen mit Blutgruppe A

$b^2+2bo$ : Frequenz der Personen mit Blutgruppe B

$2ab$ : Frequenz der Personen mit Blutgruppe AB

$o^2$ : Frequenz der Personen mit Blutgruppe 0

Die in Deutschland beobachteten Blutgruppenhäufigkeiten sind: Blutgruppe A 43 %, Blutgruppe 0 41 %, Blutgruppe B 11 % und Blutgruppe AB 5 %.

Daraus ergeben sich die folgenden Beziehungen (Zahlenwerte gerundet):
1. Für das Allel $o$:

$o=\sqrt{0,41}=0,64$

2. Für das Allel $a$:

$a^2+2ao=a^2+1,28a=0,43$

$a^2+1,28a+0,41=0,43+0,41$

$(a+0,64{)}^2=0,84$

$a=\sqrt{0,84}-0,64=0,28$

3. Für das Allel $b$:

$b^2+2bo=b^2+1,28b=0,11$

$b^2+1,28b+0,41=0,11+0,41$

$(b+0,64{)}^2=0,52$

$b=\sqrt{0,52}-0,64=0,08$

Die aus beobachteten Daten berechneten Werte für die Allelfrequenzen entsprechen einem Hardy-Weinberg-Gleichgewicht:

$a+b+o=0,28+0,08+0,64=1$

Verallgemeinerung für einen polyploiden Chromosomensatz

Die oben aufgeführten Beispielrechnungen beziehen sich auf einen diploiden Chromosomensatz, wie er z. B. beim Menschen vorliegt, bei dem Allele immer doppelt vorhanden sind (jedes Chromosom ist immer zweimal vorhanden, eine Ausnahme bilden nur die Geschlechtschromosomen). Viele Organismen weisen jedoch polyploide Chromosomensätze auf, in denen ein Allel mehr als zweimal vorhanden ist. Die Hardy-Weinberg-Formel lässt sich auch auf solche Fälle verallgemeinern.

Zwei Allele in einem polyploiden Chromosomensatz

$(p+q{)}^x=1$

wobei x der Ploidiegrad ist (diploid: x=2; triploid: x=3; tetraploid: x=4; etc.), und

$p$: Allelfrequenz von Allel $P$

$q$: Allelfrequenz von Allel $Q$

Für einen triploiden Chromosomensatz ergibt sich:

$(p+q{)}^3=p^3+3p^{2}q+3q^{2}p+q^3=1$

Häufigkeit der Genotypen bei einem triploiden Chromosomensatz

Genotyp	Frequenz
$PPP$	$p^3$
$PPQ$	$3p^{2}q$
$PQQ$	$3q^{2}p$
$QQQ$	$q^3$

Für einen tetraploiden Chromosomensatz ergibt sich:

$(p+q{)}^4=p^4+3p^{3}q+6p^2{q}^2+3q^{3}p+q^4=1$

Häufigkeit der Genotypen bei einem tetraploiden Chromosomensatz

Genotyp	Frequenz
$PPPP$	$p^4$
$PPPQ$	$3p^{3}q$
$PPQQ$	$6p^2{q}^2$
$QQQP$	$3q^{3}p$
$QQQQ$	$q^4$

Mehr als zwei Allele in einem polyploiden Chromosomensatz

Im allgemeinsten Fall ergibt sich für einen polyploiden Chromosomensatz mit Ploidiegrad x und n verschiedenen Allelen:

$(p_1+\cdots +p_n{)}^x=\sum _{k_1+k_2+\cdots +k_n=x}\frac{x!}{k_1!k_2!\cdots k_n!}\prod _{1\le t\le n}{p}_t^{k_t},$

bzw.

$(p_1+\cdots +p_n{)}^x=\sum _{|k|=x}(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{k})p^k$

mit dem „Multiindices“ k = (k₁,k₂,…,k_n) und p^k = p₁^k₁p₂^k₂⋯p_n^k_n.

Siehe auch

• Zeittafel der Evolutionsforschung
• Evolutionstheorie

Weblinks

• Vorlage:Webarchiv (PDF-Datei; 401 kB)
• Simulation zum Gesetz von Hardy-Weinberg