Quasi-Möbiusabbildung

In der metrischen Geometrie verallgemeinern Quasi-Möbiusabbildungen den aus der komplexen Geometrie bekannten Begriff der Möbiusabbildung. Sie kommen insbesondere als Randabbildungen von Quasi-Isometrien Gromov-hyperbolischer Räume vor.

Definition

Eine Abbildung $f:X_1\to X_2$ zwischen metrischen Räumen $(X_1,d_1)$ und $(X_2,d_2)$ heißt quasi-Möbius, wenn sie das Doppelverhältnis bis auf eine kontrollierte Abweichung erhält, wenn es also eine stetige Bijektion $\eta :(0,\mathrm{\infty })\to (0,\mathrm{\infty })$ mit

$[f(x_1),f(x_2),f(x_3),f(x_4)]\le \eta ([x_1,x_2,x_3,x_4])\mathrm{\forall }{x}_1,x_2,x_3,x_4\in X_1$

gibt. Dabei ist das Doppelverhältnis von vier Punkten in einem metrischen Raum $(X,d)$ definiert durch $[x_1,x_2,x_3,x_4]=\frac{d(x_1,x_3)d(x_2,x_4)}{d(x_1,x_4)d(x_2,x_3)}$.

Wenn sogar

$[f(x_1),f(x_2),f(x_3),f(x_4)]=[x_1,x_2,x_3,x_4]\mathrm{\forall }{x}_1,x_2,x_3,x_4\in X_1$

gilt, dann spricht man (in Verallgemeinerung des Begriffes aus der komplexen Geometrie) von einer Möbiusabbildung.

Eigenschaften

Vertauschen von $x_1$ und $x_2$ ergibt die umgekehrte Ungleichung (mit einer anderen Funktion $\eta$). Daraus folgt, dass das Inverse einer Quasi-Möbiusabbildung wieder eine Quasi-Möbiusabbildung ist. Weiterhin ist die Verknüpfung zweier Quasi-Möbiusaabbildungen eine Quasi-Möbiusabbildung.

Quasi-Möbiusabbildungen sind quasikonform. Die Umkehrung gilt in Loewner-Räumen.

Satz von Efremowitsch-Tichomirowa

Jede Quasi-Isometrie $f:X\to Y$ zwischen $\delta$-hyperbolischen Räumen lässt sich zu einem Homöomorphismus der Ränder im Unendlichen ${\partial }_{\mathrm{\infty }}f:{\partial }_{\mathrm{\infty }}X\to {\partial }_{\mathrm{\infty }}Y$ fortsetzen, der eine Quasi-Möbiusabbildung ist.

Dieser Satz hat eine Umkehrung für nicht-entartete $\delta$-hyperbolische Räume, d. h. wenn es eine Konstante $C$ gibt, so dass jeder Punkt im Abstand höchstens $C$ aller drei Seiten eines Dreiecks liegt. Unter dieser Voraussetzung lässt sich jeder Quasi-Möbius-Homöomorphismus ${\partial }_{\mathrm{\infty }}f:{\partial }_{\mathrm{\infty }}X\to {\partial }_{\mathrm{\infty }}Y$ zu einer Quasi-Isometrie $f:X\to Y$ fortsetzen.

Literatur

• J. Väisälä: Quasi-Möbius maps, J. Anal. Math. 44, 218-234 (1984/85)
• V. Efremovich, E. Tichomirova: Epimorphisms of hyperbolic spaces, Izv. Ac. Nauk. 28, 1139-1144 (1964)
• F. Paulin: Un groupe hyperbolique est déterminé par son bord, J. Lond. Math. Soc. 54, 50-74 (1996)
• M. Bonk, O. Schramm: Embeddings of Gromov-hyperbolic spaces, Geom. Func. Anal. 10, 266-306 (2000)