Birman-Sequenz

In der niedrig-dimensionalen Topologie ist die Birman-Sequenz ein fundamentales Hilfsmittel bei der Untersuchung von Abbildungsklassengruppen. Sie ist nach der US-amerikanischen Mathematikerin Joan Birman benannt.

Abbildungsklassengruppen

Vorlage:Hauptartikel Für eine geschlossene, orientierbare Fläche $F$ vom Geschlecht $g$ mit $r$ Punkten $x_1,\dots ,x_r\in F$ definiert man

${\mathrm{\Gamma }}_{g,r}:=Mod(F,\{x_1,\dots ,x_r\})$

als die Gruppe der Homotopieklassen von Homöomorphismen $\varphi :F\to F$ mit $\varphi (x_1)=x_1,\dots ,\varphi (x_r)=x_r$, wobei auch die Homotopien die Punkte $x_1,\dots ,x_r$ festlassen sollen. Insbesondere erhält man für $r=0$ die "klassische" Abbildungsklassengruppe ${\mathrm{\Gamma }}_g:=Mod(F)$.

Die Birman-Sequenz wird vor allem für Induktionsbeweise von Eigenschaften von ${\mathrm{\Gamma }}_{g,r}$ mittels Induktion nach $r$ genutzt. Aber auch in umgekehrter Richtung kann sie eingesetzt werden. Zum Beispiel erlaubt der Satz von Madsen-Weiss die Berechnung der stabilen Homologie von ${\mathrm{\Gamma }}_{g,1}$ und mittels der Birman-Sequenz kann man dann einen Bezug zur Homologie von ${\mathrm{\Gamma }}_g$ herstellen.

Birman-Sequenz

Es sei $F$ eine kompakte, orientierbare Fläche vom Geschlecht $g$ und seien $x_1,\dots ,x_r$ Punkte auf $F$. Dann hat man eine exakte Sequenz

$1\to {\pi }_{1}C(F,r)\to {\mathrm{\Gamma }}_{g,r}\to {\mathrm{\Gamma }}_g\to 1,$

wobei $C(F,r)$ den Konfigurationsraum von $r$ Punkten auf $F$ bezeichnet, also den Quotienten von $\{(c_1,\dots ,c_r)\in F^r:c_i=c_j\mathrm{\forall }i=j\}$ unter der Wirkung der symmetrischen Gruppe $S_r$.

Häufig wird auch nur der Spezialfall $r=1$, also die exakte Sequenz

$1\to {\pi }_{1}F\to {\mathrm{\Gamma }}_{g,1}\to {\mathrm{\Gamma }}_g\to 1$

als Birman-Sequenz bezeichnet.

Die Abbildungen ${\pi }_{1}F\to {\mathrm{\Gamma }}_{g,1}$ und allgemein ${\pi }_{1}C(F,r)\to {\mathrm{\Gamma }}_{g,r}$ werden durch die „Point-Pushing Map“ definiert.

3-Mannigfaltigkeiten

Es existiert auch eine Birman-Sequenz für hyperbolische 3-Mannigfaltigkeiten, aber nicht für Seifert-Faserungen.

Literatur

• Joan Birman: Braids, links, and mapping class groups. Annals of Mathematics Studies, No. 82. Princeton University Press, Princeton, N.J.; University of Tokyo Press, Tokyo, 1974.
• Benson Farb, Dan Margalit: A primer on mapping class groups. Princeton Mathematical Series, 49. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2012. ISBN 978-0-691-14794-9