Stetigkeitssatz von Lévy

Der Stetigkeitssatz von Lévy, teils auch nur kurz Stetigkeitssatz genannt, ist ein mathematischer Lehrsatz aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Er stellt eine Verbindung zwischen der schwachen Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen und der punktweisen Konvergenz der entsprechenden charakteristischen Funktionen her. Anwendung findet der Satz beispielsweise als Hilfsmittel bei dem Beweis des zentralen Grenzwertsatzes. Er ist nach Paul Lévy benannt.

Vorbemerkung

Der Stetigkeitssatz existiert in mehreren Varianten:

• Teils wird er nur für Wahrscheinlichkeitsmaße in $ℝ$ formuliert, teils für Wahrscheinlichkeitsmaße in ${ℝ}^d$.
• Teils wird der schwache Grenzwert der Folge von Wahrscheinlichkeitsmaßen und die entsprechende charakteristischen Funktionen als existent vorausgesetzt. Diese Formulierungen werden in diesem Artikel als spezielle Formulierung bezeichnet. Die allgemeinen Formulierungen zeigen dann die Existenz eines Grenzwertes und der charakteristischen Funktion.

Eindimensionaler Fall

Gegeben seien Wahrscheinlichkeitsmaße $P,P_1,P_2,P_3,\dots$ auf $(ℝ,ℬ(ℝ))$ und $\mathrm{\Phi },{\mathrm{\Phi }}_1,{\mathrm{\Phi }}_2,{\mathrm{\Phi }}_3,\dots$ die entsprechenden charakteristischen Funktionen.

Spezieller Fall

Es ist äquivalent:

• Die Folge $(P_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ konvergiert schwach gegen $P$
• Die Folge $({\mathrm{\Phi }}_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ konvergiert punktweise gegen $\mathrm{\Phi }$.

Allgemeiner Fall

Es ist äquivalent:

• Die Folge $(P_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ konvergiert schwach
• Die Folge $({\mathrm{\Phi }}_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ konvergiert punktweise gegen eine in 0 stetige Funktion $f$

Dann ist die Funktion $f$ die charakteristische Funktion des schwachen Grenzwertes von $(P_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$. Das heißt, es gilt

$w\text{-}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{P}_n=Q$

und ${\mathrm{\Phi }}_Q=f$.

Höherdimensionaler Fall

Gegeben seien Wahrscheinlichkeitsmaße $P,P_1,P_2,P_3,\dots$ auf $({ℝ}^d,ℬ({ℝ}^d))$ und $\mathrm{\Phi },{\mathrm{\Phi }}_1,{\mathrm{\Phi }}_2,{\mathrm{\Phi }}_3,\dots$ die entsprechenden charakteristischen Funktionen.

Spezieller Fall

Analog zum eindimensionalen Fall ist äquivalent:

• Die Folge $(P_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ konvergiert schwach gegen $P$
• Die Folge $({\mathrm{\Phi }}_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ konvergiert punktweise gegen $\mathrm{\Phi }$.

Allgemeiner Fall

Eine Funktion

$f:{ℝ}^d\to ℝ$

heißt partiell stetig in $x^{\prime }$, wenn für alle $j=1,\dots ,d$ die Funktionen

$y_j\mapsto f(x_1,\dots ,x_{j-1},y_j,x_{j+1},\dots ,x_d)$

stetig in $y_j=x{\text{'}}_j$ sind.

Der Stetigkeitssatz lautet nun:

• Konvergieren die ${\mathrm{\Phi }}_n$ punktweise gegen eine in 0 partiell stetige Funktion $f$, so ist diese Funktion die charakteristische Funktion $f={\mathrm{\Phi }}_Q$ eines Wahrscheinlichkeitsmaßes $Q$ und es gilt

$w\text{-}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{P}_n=Q$.

• Konvergiert umgekehrt $(P_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ schwach gegen ein Wahrscheinlichkeitsmaß $P$, so konvergieren die charakteristischen Funktionen auf kompakten Mengen gleichmäßig gegen ${\mathrm{\Phi }}_P$.

Literatur

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