Lokale Starrheit

In der Mathematik beschreibt das Konzept Lokale Starrheit die Nicht-Deformierbarkeit von Darstellungen von Gruppen.

Ein stärkerer Starrheitsbegriff ist die (globale) Mostow-Starrheit.

Definition

Sei $\mathrm{\Gamma }$ eine Matrixgruppe, zum Beispiel $G=GL(n,ℝ)$ oder $G=GL(n,ℂ)$, $\mathrm{\Gamma }\subset G$ ein Gitter und ${\rho }_0:\mathrm{\Gamma }\to G$ die Inklusion.

Das Gitter $\mathrm{\Gamma }\subset G$ heißt lokal starr, wenn es eine Umgebung von ${\rho }_0$ in der Darstellungsvarietät $Hom(\mathrm{\Gamma },G)$ gibt, so dass alle Darstellungen in dieser Umgebung zu $\rho$ äquivalent (d. h. vermittels eines Elementes aus $G$ konjugiert) sind.

Mit einem fest gewählten endlichen Erzeugendensystem $\mathrm{\Sigma }$ von $\mathrm{\Gamma }$ kann man lokale Starrheit wie folgt beschreiben: es gibt eine Umgebung $U$ des neutralen Elements in $G$, so dass für jeden Homomorphismus $\rho :\mathrm{\Gamma }\to G$ mit

$\rho (\sigma )\in \sigma .U\mathrm{\forall }\sigma \in \mathrm{\Sigma }$

gilt: es gibt ein $g\in G$ mit

$\rho (\gamma )=g\gamma g^{-1}\mathrm{\forall }\gamma \in \mathrm{\Gamma }$.

Kriterien

Eine hinreichende Bedingung für lokale Starrheit einer Darstellung $\rho :\mathrm{\Gamma }\to G$ ist das Verschwinden der Kohomologiegruppe $H^1(\mathrm{\Gamma },Ad\circ \rho )$, wobei $Ad$ die adjungierte Darstellung von $G$ bezeichnet.

Aus Weil-Starrheit folgt: eine halbeinfache Darstellung ist genau dann lokal starr, wenn $H^1(\mathrm{\Gamma },Ad\circ \rho )=0$ ist.

Beispiele

Lokale Starrheit wurde bewiesen:

• für kokompakte Gitter in $SL(n,ℝ),n\ge 3$ von Selberg
• für kokompakte Gitter in $PO(n,1)=Isom(H^n),n\ge 3$ von Calabi
• für kokompakte irreduzible Gitter in einer Lie-Gruppe nicht lokal isometrisch zu $SL(2,ℝ)$ von Weil
• für nicht-kokompakte Gitter in Lie-Gruppen vom $ℝ$-Rang 1 nicht lokal isometrisch zu $SL(2,ℝ)$ oder $SL(2,ℂ)$ von Garland und Raghunathan
• für nicht-kokompakte irreduzible Gitter in halbeinfachen Lie-Gruppen vom $ℝ$-Rang $\ge 2$ als Konsequenz des Superstarrheitssatzes von Margulis.

Gegenbeispiele

Hyperbolische Dehn-Chirurgie: Wenn $M$ eine nicht-kompakte hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit endlichen Volumens ist, dann erhält man durch Dehn-Chirurgie unendlich viele geschlossene hyperbolische 3-Mannigfaltigkeiten $M_{p,q}$. Seien $\rho :{\pi }_{1}M\to PSL(2,ℂ)$ und ${\rho }_{p,q}:{\pi }_1{M}_{p,q}\to PSL(2,ℂ)$ die durch die hyperbolischen Strukturen gegebenen Darstellungen.

Die Darstellungen ${\rho }_{p,q}$ können mit dem durch die Inklusion $M\to M_{p,q}$ induzierten Homomorphismus ${\pi }_{1}M\to {\pi }_1{M}_{p,q}$ verknüpft werden. Die so erhaltene Folge von Darstellungen ${\pi }_{1}M\to PSL(2,ℂ)$ konvergiert für $p,q\to \mathrm{\infty }$ gegen $\rho$, ist aber nicht zu $\rho$ äquivalent. Die Darstellung $\rho$ ist also nicht lokal starr.

Literatur

• Joan Porti: Local and infinitesimal rigidity of representations of hyperbolic three manifolds. RIMS Kôkyûroku, Kyoto University Vol 1836 (2013), 154–177, online (PDF; 293 kB)