Spitze (Singularitätentheorie)

Der Punkt $(0,0)$ ist eine Spitze der Kurve $x^3-y^2=0$.

In der Mathematik sind Spitzen (auch Kuspen, engl.: cusps) ein Typ von Singularitäten von Kurven. Ein sich auf der Kurve bewegender Punkt müsste an der Spitze seine Richtung abrupt ändern.

Definition

Eine Kurve $C$ in der Ebene ${ℝ}^2$ sei definiert durch die Gleichung

$f(x,y)=0$.

Ein auf der Kurve liegender Punkt $(x,y)$ ist eine Singularität, wenn

$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0$,

und diese Singularität ist eine Spitze, wenn zusätzlich

$\det \left(\begin{array}{cc}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}(x,y)& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}(x,y)\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}(x,y)& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}(x,y)\end{array}\right)=0$

gilt.

Klassifikation und Beispiele

Jede Spitze kann durch eine lokale Umparametrisierung in die Form

$x^2-y^{2k+1}=0$

mit $k\ge 1,k\in \mathbb{Z}$ gebracht werden. In der Klassifikation der Singularitäten entspricht diese Spitze einer $A_k$-Singularität.

Für $k=1$ erhält man die gewöhnliche Kuspe

$x^2-y^3=0$.

Für $k=2$ erhält man die rhamphoide Kuspe

$x^2-y^5=0$.

Beispielsweise haben Kaustiken Spitzen.

Weblinks

• Cusp (MathWorld)