Satz von Synge

Der Satz von Synge ist ein nach John Lighton Synge benannter Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Differentialgeometrie. Er besagt, dass jede gerade-dimensionale, orientierbare Mannigfaltigkeit positiver Schnittkrümmung einfach zusammenhängend sein muss.

Satz von Synge

• Für jede orientierbare Mannigfaltigkeit $M$ gerader Dimension $\dim (M)=2n$, die eine Riemannsche Metrik positiver Schnittkrümmung $K\ge \delta >0$ für eine Konstante $\delta$ trägt, gilt für die Fundamentalgruppe

${\pi }_{1}M=0$.

• Für jede nicht-orientierbare Mannigfaltigkeit $M$ gerader Dimension, die eine Riemannsche Metrik positiver Schnittkrümmung $K\ge \delta >0$ für eine Konstante $\delta$ trägt, ist

${\pi }_{1}M=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.

Die Bedingung, dass $K\ge \delta >0$ für eine Konstante $\delta$ gilt, ist insbesondere immer dann erfüllt, wenn $M$ kompakt und die Schnittkrümmung $K>0$ ist.

Lemma von Synge

Der Beweis des Satzes von Synge folgt aus dem Lemma von Synge. Dieses besagt folgendes:

Sei $(M,g)$ eine orientierbare Riemannsche Mannigfaltigkeit gerader Dimension mit positiver Schnittkrümmung $K>0$. Sei $c:[0,L]\to M$ eine glatte geschlossene Geodätische der Länge $L(c)=L>0$. Dann gibt es eine Variation $V(t,\tau )=c_{\tau }(t)$ von $c$, so dass alle Nachbarkurven $c_{\tau },\tau \ge 0$ glatt, geschlossen und kürzer als $L$ sind.

Gruppentheoretische Formulierung

Der Satz von Synge ist äquivalent zum Satz von Synge-Weinstein.

Ungerade Dimensionen

Für Mannigfaltigkeiten ungerader Dimensionen gilt der Satz von Synge nicht. Zwar hat nach dem Satz von Bonnet-Myers jede positiv gekrümmte Mannigfaltigkeit eine endliche Fundamentalgruppe, jedoch gibt es ungerade-dimensionale, positiv gekrümmte Mannigfaltigkeiten mit beliebiger zyklischer Fundamentalgruppe (Linsenräume) oder beispielsweise die Poincaré-Homologiesphäre mit einer komplizierteren Fundamentalgruppe der Ordnung 120.

Literatur

• do Carmo, Manfredo Perdigão: Riemannian geometry. Translated from the second Portuguese edition by Francis Flaherty. Mathematics: Theory & Applications. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1992, ISBN 0-8176-3490-8.

Weblinks

• Dirk Ferus: Geometrie (Kapitel 15)
• Dorothee Schüth, Alessandro Masacci: Riemannsche Geometrie (Kapitel 15)