Halbeinfache Darstellung

Halbeinfache Darstellungen sind ein Begriff aus dem mathematischen Gebiet der Darstellungstheorie.

Definition

Eine Darstellung heißt halbeinfach, wenn sie die direkte Summe irreduzibler Darstellungen ist.

Beispiele

• Jede Darstellung einer endlichen Gruppe ist halbeinfach.
• Jede Darstellung einer kompakten Lie-Gruppe ist halbeinfach.
• Jede Darstellung einer halbeinfachen Lie-Gruppe ist halbeinfach.
• Die durch

$\rho (n)=\left(\begin{array}{cc}1& n\\ 0& 1\end{array}\right)$

gegebene Darstellung $\rho :\mathbb{Z}\to SL(2,ℂ)$ ist reduzibel, aber nicht halbeinfach.

• Sei $\mathrm{\Gamma }=⟨A,B\mid ABA=BAB⟩$ die Knotengruppe der Kleeblattschlinge und $\xi$ eine primitive 12-te Einheitswurzel mit ${\xi }^4-{\xi }^2+1=0$. Die durch

$\rho (A)=\left(\begin{array}{cc}\xi & 0\\ 0& {\xi }^{-1}\end{array}\right),\rho (B)=\left(\begin{array}{cc}\xi & 1\\ 0& {\xi }^{-1}\end{array}\right)$

gegebene Darstellung $\rho :\mathrm{\Gamma }\to SL(2,ℂ)$ ist reduzibel, aber nicht halbeinfach.

Siehe auch

• Halbeinfacher Modul

Literatur

• Serge Lang, Algebra
• Nathan Jacobson, Basic Algebra II