Chapman-Robbins-Ungleichung

Die Chapman-Robbins-Ungleichung ist eine mathematische Aussage in der Schätztheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Statistik. Sie liefert für einen erwartungstreuen Schätzer eine untere Schranke für die Varianz des Schätzers und damit auch eine Abschätzung für seine Qualität. Unter zusätzlichen Regularitätsvoraussetzungen liefert die Chapman-Robbins-Ungleichung auch eine punktweise Version der Cramér-Rao-Ungleichung.

Die Ungleichung ist nach Douglas George Chapman und Herbert Robbins benannt.

Formulierung

Rahmenbedingungen

Gegeben sei ein statistisches Modell $(X,𝒜,(P_{\vartheta }{)}_{\vartheta \in \mathrm{\Theta }})$. Sei ${\vartheta }_0\in \mathrm{\Theta }$ fest und sei $(P_{\vartheta }{)}_{\vartheta \in \mathrm{\Theta }}$ von $P_{{\vartheta }_0}$ dominiert, das heißt für alle $\vartheta \in \mathrm{\Theta }$ existiert eine Dichtefunktion

$f_{\vartheta }:=\frac{\mathrm{d}{P}_{\vartheta }}{\mathrm{d}{P}_{{\vartheta }_0}}$

von $P_{\vartheta }$ bezüglich $P_{{\vartheta }_0}$.

Des Weiteren sei $L^2(P_{{\vartheta }_0}):=L^2(X,𝒜,P_{{\vartheta }_0})$ die Menge aller bezüglich $P_{{\vartheta }_0}$ quadratintegrierbaren Funktionen (siehe Lp-Raum) und $D_g$ die Menge aller erwartungstreuen Schätzer für die Parameterfunktion $g$.

Dann ist

$D_g({\vartheta }_0):=D_g\cap L^2(P_{{\vartheta }_0})$

die Menge aller erwartungstreuen Schätzer für $g$ mit endlicher Varianz bezüglich $P_{{\vartheta }_0}$ und

${ℱ}_{{\vartheta }_0}:=\{f_{\vartheta }|f_{\vartheta }\in L^2(P_{{\vartheta }_0})\}$

die Menge aller Dichtefunktionen mit endlicher Varianz bezüglich $P_{{\vartheta }_0}$.

Aussage

Es gilt für alle $T\in D_g({\vartheta }_0)$:

${\mathrm{Var}}_{{\vartheta }_0}(T)\ge \underset{f_{\vartheta }\in {ℱ}_{{\vartheta }_0}}{\sup }\frac{{(g(\vartheta )-g({\vartheta }_0))}^2}{{\mathrm{Var}}_{{\vartheta }_0}(f_{\vartheta })}$

Übergang zur Cramér-Rao-Ungleichung

Unter den folgenden Bedingungen liefert die Chapman-Robbins-Ungleichung eine punktweise Version der Cramér-Rao-Ungleichung:

• Für alle $x\in X$ existiert die Ableitung   $\frac{\partial }{\partial \vartheta }{f}_{\vartheta }(x)$   in   ${\vartheta }_0$.
• Der Quotient   $\frac{f_{\vartheta }-1}{\vartheta -{\vartheta }_0}$   konvergiert für $\vartheta \to {\vartheta }_0$ in $L^2(P_{{\vartheta }_0})$ gegen   $\frac{\partial }{\partial \vartheta }{f}_{\vartheta }{|}_{\vartheta ={\vartheta }_0}$.

• Die Parameterfunktion $g:\mathrm{\Theta }\to ℝ$   ist in ${\vartheta }_0$ differenzierbar.

Aus diesen Voraussetzungen folgt

$\underset{\vartheta \to {\vartheta }_0}{\lim }\frac{g(\vartheta )-g({\vartheta }_0)}{\vartheta -{\vartheta }_0}=g^{\prime }({\vartheta }_0)$

sowie

$\underset{\vartheta \to {\vartheta }_0}{\lim }\frac{{\mathrm{Var}}_{{\vartheta }_0}(f_{\vartheta })}{(\vartheta -{\vartheta }_0{)}^2}=I({\vartheta }_0)$,

wobei $I({\vartheta }_0)$ die Fisher-Information im Punkt ${\vartheta }_0$ ist.

Aus der Chapman-Robbins-Ungleichung folgt dann,

${\mathrm{Var}}_{{\vartheta }_0}(T)\ge \frac{(g^{\prime }({\vartheta }_0){)}^2}{I({\vartheta }_0)}$,

die Cramér-Rao-Ungleichung im Punkt ${\vartheta }_0$.

Literatur

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