Lévy-Abstand

Der Lévy-Abstand, auch Lévy-Metrik genannt, ist in der Stochastik ein Maß für die Übereinstimmung zweier Verteilungsfunktionen. Er ist nach Paul Lévy benannt und ein Sonderfall der Prochorow-Metrik.

Definition

Bezeichne $𝒱_{1}$ die Menge aller Verteilungsfunktionen (im Sinne der Stochastik). Für zwei $F, G \in 𝒱_{1}$ definiert man

d_{L} (F, G) = \inf {ϵ > 0 : F (x - ϵ) - ϵ \leq G (x) \leq F (x + ϵ) + ϵ für alle x \in ℝ}

.

$(𝒱_{1}, d_{L})$ ist ein separabler, vollständiger metrischer Raum.
Die Folge von Verteilungsfunktionen $(F_{n})_{n \in ℕ}$ konvergiert genau dann schwach gegen eine Verteilungsfunktion $F$ , wenn $\lim_{n \to \infty} d_{L} (F_{n}, F) = 0$ ist. Somit metrisiert die Lévy-Metrik die schwache Konvergenz von Verteilungsfunktionen.