Boyer-Lindquist-Koordinaten

In der mathematischen Beschreibung der allgemeinen Relativitätstheorie stellen die Boyer-Lindquist-Koordinaten eine Verallgemeinerung der Koordinaten für die Schwarzschild-Metrik dar. Sie finden insbesondere bei der Beschreibung eines rotierenden Schwarzen Loches Anwendung, d. h. bei Verwendung der Kerr-Metrik (im ungeladenen Fall) bzw. der Kerr-Newman-Metrik (im geladenen Fall).

Die Koordinatentransformation von Boyer-Lindquist-Koordinaten $(r,\theta ,\varphi )$ in kartesische Koordinaten $(x,y,z)$ ist gegeben durch:

$\begin{array}{cc}x& =\sqrt{r^2+a^2}\sin \theta \cos \varphi \\ y& =\sqrt{r^2+a^2}\sin \theta \sin \varphi \\ z& =r\cos \theta \end{array}$

Der Radius r der Boyer-Lindquist-Koordinaten entspricht dem Polradius (θ = 0). Dies ist bei der Kerr-Metrik auch der Schwarzschildradius, der sich aus der irreduziblen Masse ergibt.

$r=r_z=z(0)=2M_{irr}G/c^2=r_G+\sqrt{r_G^2-a^2-Q^2}$

Der Äquatorradius (θ = π/2) beträgt

$r_a=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{r^2+a^2}$

Innerhalb der Kerr-Newman-Metrik ist das Linienelement für ein Schwarzes Loch mit der Masse $M$, dem Drehimpuls $J$ und der Ladung $Q$ ist in Boyer-Lindquist-Koordinaten unter Verwendung natürlicher Einheiten ($c=G=k_{\mathrm{C}}=1$) gegeben durch

$\mathrm{d}{s}^2=-\frac{\mathrm{\Delta }}{\mathrm{\Sigma }}{(\mathrm{d}t-a{\sin }^2(\theta )\mathrm{d}\varphi )}^2+\frac{{\sin }^2\theta }{\mathrm{\Sigma }}{[(r^2+a^2)\mathrm{d}\varphi -a\mathrm{d}t]}^2+\frac{\mathrm{\Sigma }}{\mathrm{\Delta }}\mathrm{d}{r}^2+\mathrm{\Sigma }\mathrm{d}{\theta }^2,$

wobei folgende Abkürzungen benutzt werden:

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Delta }& :=r^2-2Mr+a^2+Q^2\\ \mathrm{\Sigma }& :=r^2+a^2{\cos }^2\theta \\ a& :=J/M\end{array}$

Zu beachten ist hierbei, dass die Größen $M$, $a$ und $Q$ in natürlichen Einheiten alle die Maßeinheit einer Länge besitzen.

Literatur

• R. H. Boyer, R. W. Lindquist: Maximal Analytic Extension of the Kerr Metric. In: J. Math. Phys. 8, 1967, S. 265–281.
• S. L. Shapiro, S. A. Teukolsky: Black Holes, White Dwarfs, and Neutron Stars: The Physics of Compact Objects. Wiley, New York 1983, S. 357.