Arcsin-Verteilung

Die Arcsin-Verteilung, auch Arkussinus-Verteilung genannt, ist eine univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie ist ein Spezialfall der Beta-Verteilung mit den Parametern $p=q=\frac{1}{2}$ und spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der brownschen Bewegung.

Definition

Die Arcsin-Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf $[0,1]$. Sie ist definiert durch ihre Verteilungsfunktion

$F(x)=\frac{2}{\pi }\arcsin \left(\sqrt{x}\right),x\in [0,1]$

und ihre Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{\pi \sqrt{x(1-x)}}& \text{wenn}x\in (0,1)\\ 0& \text{wenn}x\in \{0,1\}\end{array}$.

Eigenschaften

Es sei $X$ eine arcsin-verteilte Zufallsvariable.

Erwartungswert und Varianz

Der Erwartungswert ergibt sich zu

$\mathrm{E}(X)=\frac{1}{2}$

und die Varianz zu

$\mathrm{Var}(X)=\frac{1}{8}$.

Symmetrie

Die Arcsin-Verteilung ist symmetrisch um 0,5.

Arcsin-Gesetze

Es gibt eine Vielzahl von Arcsin-Gesetzen. Veröffentlichungen dazu stammen unter anderem von Paul Lévy, Paul Erdős, Mark Kac und Erik Sparre Andersen. Nach ihnen sind die Arcsin-Gesetze zum Teil benannt.

Die folgenden Arcsin-Gesetze treffen Aussagen über die Dauer, wie lange sich ein stochastischer Prozess im positiven Bereich aufhält. Es können stattdessen auch die Abbildungen:

• frühester Zeitpunkt eines Maximums und
• dem Zeitpunkt, wann zum letzten Mal der Ursprung gekreuzt wird

betrachtet werden, wobei dann gegebenenfalls weitere Annahmen getroffen werden müssen.

Arcsin-Gesetz von Paul Lévy

Die Zeitlängen, die ein eindimensionaler Standard-Wiener-Prozess $(W_t{)}_{t\in [0,1]}$ positiv ist, sind arcsin-verteilt. Das heißt für

$U:=\lambda (\{t\in [0,1]\mid W_t>0\}),x\in [0,1]$,

gilt

$P(U\le x)=F(x),x\in [0,1]$,

wobei $\lambda$ das eindimensionale Lebesgue-Maß bezeichnet.

Arcsin-Gesetz von Paul Erdős und Mark Kac

Sei $(X_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$ eine Folge von eindimensionalen, unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen. Weiter wird angenommen, dass sie Erwartungswert 0 und Varianz 1 haben. Die fortlaufenden Anzahlen der Summen

$S_k:=X_1+\cdots +X_k,k\in \mathbb{N}$,

die positiv sind, sind definiert durch

$N_n:=|\{k\in \{1,\dots ,n\}\mid S_k>0\}|,n\in \mathbb{N}$.

Dann gilt die folgende Konvergenz in Verteilung

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }P(\frac{N_n}{n}\le x)=F(x),x\in [0,1]$.

Die Annahmen können variiert werden, sofern der Zentrale Grenzwertsatz weiterhin für $(X_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$ gilt.

Arcsin-Gesetz von Erik Sparre Andersen

Sei $(X_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$ eine Folge von Zufallsvariablen. Zu jeder Auswahl von endlich vielen Zufallsvariablen existieren die gemeinsamen Dichten und diese sind invariant bezüglich s-Permutationen. Eine s-Permutation besteht aus der Kompositionen einer Permutation und Vorzeichenwechsel in beliebigen Koordinaten. Dann gilt analog zum Arcsin-Gesetz von Erdős und Kac für die Summen $S_k,k\in \mathbb{N},$ und die die Anzahl von positiven Zufallsvariablen $N_n,n\in \mathbb{N},$ die folgende Konvergenz in Verteilung

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }P(\frac{N_n}{n}\le x)=F(x),x\in [0,1]$.

Diskrete Arcsin-Verteilung

Beispiele zur Wahrscheinlichkeitsfunktion $g_n(m)$ der diskreten Arcsin-Verteilung, wobei $n$ einem Parameter und $m\in \{0,\dots ,n\}$ einer Ausprägung entspricht.

In der Fluktuationstheorie konnte Erik Sparre Andersen zeigen, dass die sogenannte diskrete Arcsin-Verteilung von Bedeutung ist. Diese ist für jeden Parameter $n\in \mathbb{N}\cup \{0\}$ durch ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion

$g_n(m)=(-1{)}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{-\frac{1}{2}}{m})(\genfrac{}{}{0ex}{}{-\frac{1}{2}}{n-m}),m\le n$

und ihre Verteilungsfunktion

$G_n(x)=\sum _{m=0}^{\lfloor x\rfloor }(-1{)}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{-\frac{1}{2}}{m})(\genfrac{}{}{0ex}{}{-\frac{1}{2}}{n-m}),x\in [0,n]$

definiert.

Der Name ist durch ihr Konvergenzverhalten zur Arcsin-Verteilung begründet, so gilt die gleichmäßige Konvergenz

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{x\in [0,1]}{\sup }\mid G_n(n\cdot x)-F(x)\mid =0$.

Erik Sparre Andersen zeigte die entsprechende Konvergenz in Verteilung im gleichen Zug mit dem vorigen Arcsin-Gesetz.

Arcsin-Gesetz von Deshouillers-Dress-Tenenbaum

Vorlage:Hauptartikel In der probabilistischen Zahlentheorie zeigten Jean-Marc Deshouillers, François Dress und Gérald Tenenbaum dass die Summe von Verteilungsfunktionen von logarithmischen Verhältnissen von Teilern zu deren Vielfaches einem Arcsin-Gesetz folgt.

Literatur

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