Immanente

Die Immanente ist eine von Dudley Littlewood und Archibald Richardson definierte Größe einer Matrix. Sie ist eine Verallgemeinerung der Determinante sowie der Permanente.

Sei $\lambda =({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots )$ eine Partition von $n$ und ${\chi }_{\lambda }$ der korrespondierende irreduzible darstellungstheoretische Charakter der symmetrischen Gruppe ${𝔖}_n$. Die Immanente mit dem Charakter ${\chi }_{\lambda }$ einer $n\times n$-Matrix $A={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ wird definiert als

${\mathrm{Imm}}_{\chi }(A):=\sum _{\sigma \in {𝔖}_n}\chi (\sigma )\prod _{i=1}^n{a}_{i,\sigma (i)}$

Die Permanente ist der Spezialfall mit dem trivialen Charakter.

Die Determinante ist der Spezialfall der Immanente mit ${\chi }_{\lambda }=\mathrm{sgn}$, dem alternierenden Charakter.

Beispielsweise gibt es für $3\times 3$-Matrizen drei irreduzible Darstellungen von ${𝔖}_3$, wie folgende Tabelle zeigt.

${𝔖}_3$	$e$	$(12)$	$(123)$
${\chi }_1$	1	1	1
${\chi }_2$	1	−1	1
${\chi }_3$	2	0	−1

Wie oben erwähnt ergeben ${\chi }_1$ und ${\chi }_2$ die Permanente bzw. die Determinante; dagegen erhält man mit ${\chi }_3$ die Abbildung

${\mathrm{Imm}}_{{\chi }_3}\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)=2a_{11}{a}_{22}{a}_{33}-a_{12}{a}_{23}{a}_{31}-a_{13}{a}_{21}{a}_{32}$

Littlewood und Richardson studierten die Zusammenhänge mit Schur-Polynomen.

Belege

• Vorlage:Cite journal

• Vorlage:Literatur