Lindblad-Gleichung

In der Quantenmechanik bezeichnet die Kossakowski-Lindblad-Gleichung (benannt nach Andrzej Kossakowski und Göran Lindblad) oder Mastergleichung in Lindblad-Form den allgemeinsten Typ einer zeit-homogenen Mastergleichung. Sie beschreibt eine nicht-unitäre Evolution des Dichteoperators $\rho$, welche spurerhaltend und komplett positiv für jede Anfangsbedingung ist.

Hintergrund

Die Lindblad-Gleichung für eine auf das $N$-dimensionale (Teil-)System reduzierte Dichtematrix $\rho$ kann geschrieben werden als:

$\dot{\rho }=-\frac{\mathrm{i}}{\hslash }[H,\rho ]+\sum _{n,m=1}^{N^2-1}{h}_{n,m}(L_n\rho L_m^{†}-\frac{1}{2}(\rho L_m^{†}{L}_n+L_m^{†}{L}_n\rho ))$

Dabei bezeichnet

• der erste Summand den reversiblen Teil der Zeitentwicklung mit
  • der imaginären Einheit $\mathrm{i}$
  • der reduzierten Planck-Konstante $\hslash$
  • einem (hermiteschen) Hamilton-Operator $H$; $H$ ist jedoch nicht notwendigerweise gleich dem Hamilton-Operator des Systems, sondern beinhaltet zusätzlich die effektive unitäre Dynamik der Wechselwirkung zwischen System und Umgebung.
• die Summe $\sum$ den irreversiblen Teil mit
  • den Konstanten $h_{n,m}$, die die Dynamik festlegen. Sie bilden eine Koeffizientenmatrix $h=(h_{n,m})$, die positiv semidefinit sein muss, um sicherzustellen, dass die Gleichung spurerhaltend und komplett positiv ist.
  • den Operatoren $L_m$, die eine beliebige lineare Basis im Hilbertraum des Systems bilden.

Die Summation läuft nur über $N^2-1$, weil wir $L_{N^2}$ proportional zum Identitätsoperator genommen haben, wodurch der Summand verschwindet. Unsere Konvention impliziert, dass die $L_m$ für $m<N^2$ spurlos sind.

Die Terme in der Summation, bei denen $m=n$ gilt, können mit Lindblad-Superoperatoren beschrieben werden:

$L(C)\rho =C\rho C^{†}-\frac{1}{2}(C^{†}C\rho +\rho C^{†}C).$

Falls die Terme $h_{m,n}$ alle Null sind, reduziert sich die Lindblad-Gleichung auf die Von-Neumann-Gleichung, das Quanten-Analogon der klassischen Liouville-Gleichung. Eine verwandte Gleichung, das Ehrenfest-Theorem, beschreibt die zeitliche Entwicklung der Erwartungswerte der Observablen.

Auch die folgenden Gleichungen für Quantenobservablen $A$ werden Lindblad-Gleichungen genannt:

$\dot{A}=-\frac{1}{\mathrm{i}\hslash }[H,A]+\frac{1}{2\hslash }\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(V_k^{†}[A,V_k]+[V_k^{†},A]V_k)$

Diagonalisierung

Da die Matrix $h=(h_{n,m})$ positiv semidefinit ist, kann sie mit einer unitären Transformation $u$ diagonalisiert werden:

$u^{†}hu=\left[\begin{array}{cccc}{\gamma }_1& 0& \cdots & 0\\ 0& {\gamma }_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\gamma }_{N^2-1}\end{array}\right]$

wobei die Eigenwerte ${\gamma }_i$ nicht negativ sind.

Wenn wir eine andere orthonormale Operator-Basis $A$ definieren:

$A_i=\sum _{j=1}^{N^2-1}{u}_{j,i}{L}_j$

können wir die Lindblad-Gleichung in diagonaler Form umschreiben:

$\dot{\rho }=-\frac{\mathrm{i}}{\hslash }[H,\rho ]+\sum _{i=1}^{N^2-1}{\gamma }_i(A_i\rho A_i^{†}-\frac{1}{2}(\rho A_i^{†}{A}_i+A_i^{†}{A}_i\rho )).$

Diese Gleichung ist invariant unter unitärer Transformation der Lindblad-Operatoren und -Konstanten,

$\sqrt{{\gamma }_i}{A}_i\to \sqrt{{{\gamma }_i}^{\prime }}{A_i}^{\prime }=\sum _{j=1}^{N^2-1}{v}_{j,i}\sqrt{{\delta }_i}{A}_j,$

und auch unter inhomogener Transformation

$A_i\to {A_i}^{\prime }=A_i+a_i,$

$H\to H^{\prime }=H+\frac{1}{2\mathrm{i}}\sum _{j=1}^{N^2-1}{\gamma }_j(a_j^{*}{A}_j-a_j{A}_j^{†}).$

Allerdings zerstört die erste Transformation die Orthonormalität der Operatoren $A_i$ (solange nicht alle ${\gamma }_i$ identisch sind) und die zweite die Spurlosigkeit. Folglich, bis auf Entartung der ${\gamma }_i$, sind die $A_i$ der Diagonalform der Lindblad-Gleichung eindeutig bestimmt durch die Dynamik, solange wir von ihnen fordern orthonormal und spurlos zu sein.

Beispiel Harmonischer Oszillator

Ein häufiges Beispiel ist die Beschreibung der Dämpfung eines quantenmechanischen harmonischen Oszillators. Für diesen gilt

$\begin{array}{cc}{L}_1& =a\\ L_2& =a^{†}\\ h_{n,m}& =\{\begin{array}{cc}\frac{\gamma }{2}(\overline{n}+1)& n=m=1\\ \frac{\gamma }{2}\overline{n}& n=m=2\\ 0& \text{sonst}\end{array}\end{array}$

Hier ist

• $\overline{n}$ die mittlere Anzahl von Anregungen im Reservoir, die den Oszillator dämpfen, und
• $\gamma$ die Zerfallsrate.

Zusätzliche Lindblad-Operatoren können hinzugefügt werden, um diverse Formen von Dephasierung und Vibrationsdämpfung (vibrational relaxation) zu modellieren. Diese Methoden sind in gitterbasierte Dichteoperator-Propagationsmethoden zur Beschreibung offener Quantensysteme aufgenommen.

Literatur

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Weblinks

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